Samarqand davlat universiteti giperbolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

 
1.3. Chekli ayirmalar usulining asosiy tushunchalari. 
Chekli ayirmalar usulining asosiy g’oyasi bu xususiy hosilali differensial 
tenglamani unga mos chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga aylantirishdan iborat. 
Bu sistemaning yechimi izlanayotgan 
u
(
x
,
y
,
z
,
t
) funksiya uchun taqribiy yechimni 
beradi. 
Bu usulning asosiy bosqichlari quyidagicha: 
1)
O’rganilayotgan sohani yoki uning biror elementini qoplovchi to’rni tuzish. 
2)
Hosil qilingan to’rda dastlabki xususiy hosilali differensial tenglamaga va 
uning qo’chimcha shartlariga mos chekli-ayirmali approksimatsiya qurish. 

---

11 
3)
Tuzilgan chekli-ayirmali approksimatsiya asosida chiziqli algebraik 
tenglamalar sistemasini tuzish va uni yechish. 
Ushbu bosqichlarni ikki o’lchovli masala misolida qarab chiqamiz. 
To’rni qurish.
To’rni tuzish masalaning geometriyasini hisobga olish bilan 
amalga oshiriladi. Tadqiqot sohasi ko’pgina amaliy masalalarda to’g’ri to’rtburchak 
shaklida bo’lib, unga mos dekart koordinatalar sistemasini o’rnatib, unda to’g’ri 
to’rtburchakli to’rni hosil qilishimiz mumkin. To’g’ri to’rtburchakli plastinka 
misolida qurilgan ana shunday ikki o’lchovli to’r 1.2.-rasmda tasvirlangan. 
1.2-rasm. Ikki o’lchovli to’g’ri to’rtburchakli to’r. 
Chekli ayirmalar usulida boshqa ko’rininshdagi to’rlar ham ishlatilishi mumkin, 
masalan qiyshiq burchakli, qutb koordinatalari shaklidagi to’r.Bu qo’yilgan 
masalaning tadqiqot sohasi qaysi koordinat sistemasiga nisbatan mos kelishiga qarab 
tanlanadi, masalan, bosh o’qqa nisbatan simmetrik masalada qutb to’ridan 
foydalaniladi. 
Masala yechimini topish jarayoni to’rning tugunlariga, ya’ni uning chiziqlari 
kesishish nuqtalariga tayanib olib boriladi. 
Xususiy hosilali differensial tenglamalardagi hosilalarni chekli-ayirmali 
approksimatsiyalash bu hosilalarni shu to’rda uni taqribiy analogiga almashtirishdan 
iborat. Masalan, (
x
i
, 
y
i
) nuqtada ushbu 
xususiy hosilani uning taqribiy bo’lgan va “o’ng hosila” deb ataluvchi quyidagi
o’ng
yoki “chap hosila” deb ataluvchi quyidagi 

---

12 
chap
taqribiy qiymatiga almashtira olamiz, bu yerda 

u
va 

x
– funksiya va argument 
orttirmasi; 
x
i
, 
u
i
va 
x
i
+1
, 
u
i
+1
– argument va funksiyaning 
i
va 
i
+1 tugunlardagi 
qiymatlari; 

x
– to’rning 
x
koordinata bo’yicha qadami. 
Xuddi shunday 
x
koordinata bo’yicha ikkinchi tartibli xususiy hosila 
uchun 
ham mos ushbu 
chekli-ayirmali approksimatsiyani olishimiz mumkin. 
Hosil qilingan ifodalarda hosilaga nisbatan 

u va 

x
larning cheksiz kichik 
emas, balki kichik qiymatlaridan foydalanildi. Shuning uchun ham bu usul 
chekli 
ayirmalar usuli
deb ataladi. Qolgan 
y
, 
z
, 
t
erkli o’zgaruvchilarga nisbatan 
hosilalarning mos chekli ayirmali formulalari chiqarilai.