Samarqand davlat universiteti giperbolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

1.7. Giperbolik tipdagi tenglama uchun oshkor konservativ usullar.
Ustivorlik.
Ayirmali sxemani qo‘llash bilan natijasi katostrofik bo‘lgan 
cheklanmagan yechimga kelib qolishimiz mumkin, u holda biz bunday ayirmali 
sxemani sonli ustivor emas deb aytamiz. Agar vaqt qadamining oshishi bilan 
ixtiyoriy xato oshib borsa, bu o‘z navbatida yechimni to‘la yaroqsiz natijaga olib 
keladi.
Ustivorlik shartini quyidagicha bayon qilish mumkin: 
sonli usul ustivor bo‘ladi, 
agar hisoblash jarayonining ixtiyoriy bosqichida kichik xato o‘zidan kichik chekli 
xatoga olib kelsa.
Amaliyotda boshlang‘ich shartlar bilan berilgan masalani yechish uchun 
qo‘llanilayotgan ixtiyoriy sonli usul shubhasiz, hech bo‘lmaganda ma’lum sharoitda, 
ustibor bo‘lishi kerak. 
Ustivorlik talabini quyudagicha bosqichlar bilan bayon qilish mumkin: 

ε
n
 = u
n 
–
 
u
e
n
– bu 
n
–qadamda paydo bo‘ladigan xatolar vektori; 

ε
n
+1
 = G
ε
n
 
– xatoliklarning o‘zgarishi, bunda 
G
– o‘tish matritsasi; 

Chiziqli tenglamalar uchun 
G 
– o‘tish matritsasi 
T
– o‘tish operatoriga 
ekvivalent; 

Umumiy holda 
G
= 
∂
(
T
u
)/
∂
u
;
G
μν
= 
∂
(
u
μ
n
+1
)/
∂u
ν
n
; 

Usul ustivor bo‘ladi, agar ||
ε
n
+1
||
 = 
||
u
n
+1
 
–
 
u
e
n
+1
|| ning qiymati 
u
n 
dan va xuddi 
shunday 
 
u
e
n
dan ham bog‘liq bo‘lmagan o‘zgarmasga ko‘paytirilgan ||
ε
n
|| bilan 
chegaralangan bo‘lsa, ya’ni ||
ε
n
+1
||
 
≤
 
(1+
K
∆
t
) ||
ε
n
||. 

Agar vaqt otishi bilan aniq yechim o‘smasa, u holda sonli yechimda ham 
o‘sish sodir bo‘lmasligi, ya’ni 
K
=0 bo‘lishi kerak. 

Agar o‘tish tenglamasi ushbu 
ε
μ
n
+1
= 
g
μ
ε
μ
n
diagonal ko‘rinishga keltirilgan 
bo‘lsa, u holda ustivorlik uchun xatolarning xar bir xos vektori normasi 
o‘smasligi lozim, bundan esa quyidagiga ega bo‘lamiz: 
|g
μ
|
= (
g
μ
 g
μ
*
)
1/2
≤ 1 (barcha 
μ
lar uchun). 
bunda
g
μ
*
– bu o‘tish ko‘paytuvchisi
g
μ
ga kompleks–qo‘shma miqdor.
 
Ustivorlikning fon Neyman bo‘yicha tahlili:

---

23 
Faraz qilaylik, 
T
(∆
t
,∆
x
) o‘tish operatori o‘zgarmas miqdorga teng. U holda 
u
j
n
=
û
k
n
e
ikxj
bog‘liq o‘zgaruvchilarning furye–modasi ustivorligini qarash mumkin va 
uning amplitudasi cheklanganligini talab qilish mumkin. Ustivorlik uchun 
g
– o‘tish 
ko‘paytuvchisi modul jihatidan birdan oshmasligi kerak, ya’ni barcha furye–modalar 
uchun ||
g
|| ≤ 1.