Samarqand davlat universiteti giperbolik tipdagi tenglamali chegaraviy masalalarni sonli

 
1.5. Boshlang’ich va chegaraviy shartlarni sonli approksimatsiyalash. 
Boshlang’ich shartlar. 
Funksiyaning 1 nomerli vaqt qatlamidagi qiymatini topish uchun ayirmali 
sxemadan foydalanishda funksiyaning 
k 
= – 1 soxta qatlamdagi noma’lum 
1

i
u
qiy-
matini topish lozim bo’ladi. Bu quyidagicha bajariladi. 
)
(
)
0
,
(
0
x
x
u
t


boshlang’ich 
shartdagi 
u
t
vaqt bo’yicha hosila birinchi tartibli aniqlikka ega quyidagi ayirma bilan 
almashtiriladi: 
)
(
0
1
0
i
i
i
x
u
u





. 
(1.8) 
(1.2) tengliklarning 
k 
= 0 da yozildan ifodasi va (1.8) dan 
1

i
u
ni yo’qotib, 
vaqtning birinchi qatlamida funksiyaning qiymatini topish tenglamasiga kelamiz: 






. 
)
(
2
1
1
0
0
2
0
1
2
0
2
0
1
2
1
1
i
i
i
i
i
i
x
f
u
C
u
C
u
C
u















(1.9) 
Bu yerda 
C
= 
2
2
/
h

. 
Vaqtning birinchi qatlamida funksiyaning qiymatini 
boshlang’ich shartdan topamiz: 

---

20 
)
(
0
0
i
i
x
u
u

. 
Chegaraviy shartlar. 
Birinchi tur chegaraviy shartlarning ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha: 
)
(
1
1
1
0



k
k
t
u
u
;
).
(
1
2
1



k
k
N
t
u
u
(1.10) 
Ikkinchi tur chegaraviy shartlarning 
0
x
va 
N
x
nuqtalardagi ayirmali 
approksimatsiyasini ikkinchi tartibli aniqlik bilan quyidagicha yozamiz: 
)
(
2
1
1
1
k
k
k
t
h
u
u




; 
)
(
2
2
1
1
k
k
N
k
N
t
h
u
u





. 
Bu yerdan 
k
u
1

, 
k
N
u
1

larni ifodalab, (1.2) va (1.9) tenglamalarni mos ravishda 
i 
= 0 va 
i 
= 
N
tugunlarda yozib, funksiyaning soha chap va o’ng chegaralaridagi 
qiymatlarini hisoblashning quyidagi ifodalariga kelamiz: 

birinchi vaqt qatlamida: 














1
)
(
)
(
2
2
2
1
0
0
0
0
2
0
1
2
0
1
2
0
0
2
1
0
x
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
; (1.11) 















1
)
(
)
(
2
2
1
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1
N
N
N
N
N
x
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
; (1.12) 

vaqtning keying qatlamlarida (
1

k
): 




















1
)
(
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
0
1
0
k
k
k
k
k
k
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
u
; (1.13) 





















1
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
k
N
k
k
N
k
N
k
N
k
N
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
u
. (1.14) 
Uchinchi tur chegaraviy shartlarning ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha: 
)
(
2
1
0
1
1
k
k
k
k
t
p
u
h
u
u





; 
)
(
2
2
1
1
k
k
N
k
N
k
N
t
p
u
h
u
u





. 
U holda (1.2) va (1.9) tenglamalardan quyidagilarga ega bo’lamiz: 

birinchi vaqt qatlamida: 















1
)
(
)
(
2
2
)
1
(
2
1
0
0
0
0
2
0
1
2
0
1
2
0
0
2
1
0
x
f
t
hp
C
u
C
u
C
h
u
; 
(1.15) 


;
1
)
(
)
(
2
)
1
(
2
1
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1














N
N
N
N
N
x
f
t
hq
C
u
C
h
u
C
u
(1.16) 

vaqtning keying qatlamlarida (
1

k
): 





















1
)
(
2
2
2
)
1
(
1
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
0
k
k
k
k
k
k
t
hp
C
f
u
C
u
C
h
u
u
; (1.17) 

---

21 
.
1
)
(
2
2
)
1
(
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1






















k
k
N
k
N
k
N
k
N
k
N
t
hp
C
f
u
C
h
u
C
u
u
(1.18) 
Uchinchi tur chegaraviy shartlar uchun ustivorlik sharti quyidagich: 
h
C


1
1
. 
1.6. Silindrik koordinatalar sistemasida yozilgan tenglama uchun ayirmali 
sxemani qurishning o’ziga xos xususiyatlari. 
Silindrik koordinatalar sistemasida quyi-
dagicha yozilgan giperbolik tenglamani qaraylik: 
 
).
,
(
1
t
r
f
ru
r
u
r
r
tt


(1.19) 
Bu tenglamaga mos ayirmali sxemani qurish 
uchun quyidagi shablondan foydalanamiz: 
Bu yerda ham, xuddi yuqoridagidek, vaqt va 
fazo bo’yicha hosilalarni quyidagicha ayirmali 
sxemalarga approksimatsiyalaymiz: 
i, k
+1
 
i
+1
, k 
i, k
–1
 
i
–1
, k 
i, k 
i 
– 0.5
 
i 
+ 0.5
 
2
1
1
2






k
i
k
i
k
i
tt
u
u
u
u
;
   
 





h
ru
ru
ru
i
r
i
r
r
r
5
.
0
5
.
0
.
)
(
2
1
5
.
0
5
.
0
5
.
0
1
5
.
0
1
5
.
0
1
5
.
0
h
u
r
u
r
r
u
r
h
h
u
u
r
h
u
u
r
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i


















Bunda 


i
i
i
r
r
r




1
5
.
0
2
1
. 
U holda (1.19) ayirmali sxema quyidagicha yoziladi: 
,
2
1
5
.
0
2
5
.
0
5
.
0
2
1
5
.
0
2
1
1

k
i
k
i
i
i
k
i
i
i
i
k
i
i
i
k
i
k
i
f
u
r
r
C
u
r
r
r
C
u
r
r
C
u
u






















.
1
1



N
i
(1.20) 
Bu yerda ham chegaraviy shartlar xuddi yuqoridagi hollardek, ammo 
r
0
= 0 
chap chegarada simmetriya sharti oʻrinli ekanligini yoddan chiqarmaslik kerak, ya’ni 
bunda 
0

r
u
simmetriya sharti beriladi. Bu yerda yuqoridagi ayirmali tenglamadan 
i
= 0 hol uchun foydalanib boʻlmaydi, chunki 
r
= 0 nuqta maxsuslikka ega. Shuning 
uchun (1.19) tenglamani 
)
,
(
1
t
r
f
u
u
r
u
rr
r
tt



kabi yozib olib, bu maxsuslikdan 
qutilish mumkin. Bunda 
r
→0 da Lopital qoidasidan foydalanib 
r
u
r
1
aniqmaslikni 
r
= 
0 nuqta uchun ochamiz va quyidagi tenglamaga kelamiz:
).
,
(
2
t
r
f
u
u
rr
tt


(1.21) 

---

22 
Endi (1.20) tenglama va 
0
0


r
r
u
chegaraviy shartning 
i
= 0 nuqta uchun 
ayirmali sxemalarini yozib, izlanayotgan fuksiyaning shu nuqtadagi qiymatini 
topishning quyidagi ayirmali ifodasini hosil qilamiz:


k
k
k
k
k
f
u
C
u
C
u
u
0
2
0
2
1
2
1
0
1
0
2
1
2
4











,
1

k
; 
(1.22) 


k
f
u
C
u
C
u
0
2
0
0
0
2
0
1
2
1
0
)
0
(
4
1
4










,
0

k
. 
Bu holda ayirmali sxemaning ustivorlik sharti quyidagicha 
.
2
1

C