|
1.5. Boshlang’ich va chegaraviy shartlarni sonli approksimatsiyalash.
Boshlang’ich shartlar.
Funksiyaning 1 nomerli vaqt qatlamidagi qiymatini topish uchun ayirmali
sxemadan foydalanishda funksiyaning
k
= – 1 soxta qatlamdagi noma’lum
1
i
u
qiy-
matini topish lozim bo’ladi. Bu quyidagicha bajariladi.
)
(
)
0
,
(
0
x
x
u
t
boshlang’ich
shartdagi
u
t
vaqt bo’yicha hosila birinchi tartibli aniqlikka ega quyidagi ayirma bilan
almashtiriladi:
)
(
0
1
0
i
i
i
x
u
u
.
(1.8)
(1.2) tengliklarning
k
= 0 da yozildan ifodasi va (1.8) dan
1
i
u
ni yo’qotib,
vaqtning birinchi qatlamida funksiyaning qiymatini topish tenglamasiga kelamiz:
.
)
(
2
1
1
0
0
2
0
1
2
0
2
0
1
2
1
1
i
i
i
i
i
i
x
f
u
C
u
C
u
C
u
(1.9)
Bu yerda
C
=
2
2
/
h
.
Vaqtning birinchi qatlamida funksiyaning qiymatini
boshlang’ich shartdan topamiz:
20
)
(
0
0
i
i
x
u
u
.
Chegaraviy shartlar.
Birinchi tur chegaraviy shartlarning ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha:
)
(
1
1
1
0
k
k
t
u
u
;
).
(
1
2
1
k
k
N
t
u
u
(1.10)
Ikkinchi tur chegaraviy shartlarning
0
x
va
N
x
nuqtalardagi ayirmali
approksimatsiyasini ikkinchi tartibli aniqlik bilan quyidagicha yozamiz:
)
(
2
1
1
1
k
k
k
t
h
u
u
;
)
(
2
2
1
1
k
k
N
k
N
t
h
u
u
.
Bu yerdan
k
u
1
,
k
N
u
1
larni ifodalab, (1.2) va (1.9) tenglamalarni mos ravishda
i
= 0 va
i
=
N
tugunlarda yozib, funksiyaning soha chap va o’ng chegaralaridagi
qiymatlarini hisoblashning quyidagi ifodalariga kelamiz:
birinchi vaqt qatlamida:
1
)
(
)
(
2
2
2
1
0
0
0
0
2
0
1
2
0
1
2
0
0
2
1
0
x
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
; (1.11)
1
)
(
)
(
2
2
1
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1
N
N
N
N
N
x
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
; (1.12)
vaqtning keying qatlamlarida (
1
k
):
1
)
(
2
2
2
1
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
0
1
0
k
k
k
k
k
k
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
u
; (1.13)
1
)
(
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
k
N
k
k
N
k
N
k
N
k
N
f
t
hq
C
u
C
u
C
u
u
. (1.14)
Uchinchi tur chegaraviy shartlarning ayirmali approksimatsiyasi quyidagicha:
)
(
2
1
0
1
1
k
k
k
k
t
p
u
h
u
u
;
)
(
2
2
1
1
k
k
N
k
N
k
N
t
p
u
h
u
u
.
U holda (1.2) va (1.9) tenglamalardan quyidagilarga ega bo’lamiz:
birinchi vaqt qatlamida:
1
)
(
)
(
2
2
)
1
(
2
1
0
0
0
0
2
0
1
2
0
1
2
0
0
2
1
0
x
f
t
hp
C
u
C
u
C
h
u
;
(1.15)
;
1
)
(
)
(
2
)
1
(
2
1
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1
N
N
N
N
N
x
f
t
hq
C
u
C
h
u
C
u
(1.16)
vaqtning keying qatlamlarida (
1
k
):
1
)
(
2
2
2
)
1
(
1
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1
0
1
0
k
k
k
k
k
k
t
hp
C
f
u
C
u
C
h
u
u
; (1.17)
21
.
1
)
(
2
2
)
1
(
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
k
k
N
k
N
k
N
k
N
k
N
t
hp
C
f
u
C
h
u
C
u
u
(1.18)
Uchinchi tur chegaraviy shartlar uchun ustivorlik sharti quyidagich:
h
C
1
1
.
1.6. Silindrik koordinatalar sistemasida yozilgan tenglama uchun ayirmali
sxemani qurishning o’ziga xos xususiyatlari.
Silindrik koordinatalar sistemasida quyi-
dagicha yozilgan giperbolik tenglamani qaraylik:
).
,
(
1
t
r
f
ru
r
u
r
r
tt
(1.19)
Bu tenglamaga mos ayirmali sxemani qurish
uchun quyidagi shablondan foydalanamiz:
Bu yerda ham, xuddi yuqoridagidek, vaqt va
fazo bo’yicha hosilalarni quyidagicha ayirmali
sxemalarga approksimatsiyalaymiz:
i, k
+1
i
+1
, k
i, k
–1
i
–1
, k
i, k
i
– 0.5
i
+ 0.5
2
1
1
2
k
i
k
i
k
i
tt
u
u
u
u
;
h
ru
ru
ru
i
r
i
r
r
r
5
.
0
5
.
0
.
)
(
2
1
5
.
0
5
.
0
5
.
0
1
5
.
0
1
5
.
0
1
5
.
0
h
u
r
u
r
r
u
r
h
h
u
u
r
h
u
u
r
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Bunda
i
i
i
r
r
r
1
5
.
0
2
1
.
U holda (1.19) ayirmali sxema quyidagicha yoziladi:
,
2
1
5
.
0
2
5
.
0
5
.
0
2
1
5
.
0
2
1
1
k
i
k
i
i
i
k
i
i
i
i
k
i
i
i
k
i
k
i
f
u
r
r
C
u
r
r
r
C
u
r
r
C
u
u
.
1
1
N
i
(1.20)
Bu yerda ham chegaraviy shartlar xuddi yuqoridagi hollardek, ammo
r
0
= 0
chap chegarada simmetriya sharti oʻrinli ekanligini yoddan chiqarmaslik kerak, ya’ni
bunda
0
r
u
simmetriya sharti beriladi. Bu yerda yuqoridagi ayirmali tenglamadan
i
= 0 hol uchun foydalanib boʻlmaydi, chunki
r
= 0 nuqta maxsuslikka ega. Shuning
uchun (1.19) tenglamani
)
,
(
1
t
r
f
u
u
r
u
rr
r
tt
kabi yozib olib, bu maxsuslikdan
qutilish mumkin. Bunda
r
→0 da Lopital qoidasidan foydalanib
r
u
r
1
aniqmaslikni
r
=
0 nuqta uchun ochamiz va quyidagi tenglamaga kelamiz:
).
,
(
2
t
r
f
u
u
rr
tt
(1.21)
22
Endi (1.20) tenglama va
0
0
r
r
u
chegaraviy shartning
i
= 0 nuqta uchun
ayirmali sxemalarini yozib, izlanayotgan fuksiyaning shu nuqtadagi qiymatini
topishning quyidagi ayirmali ifodasini hosil qilamiz:
k
k
k
k
k
f
u
C
u
C
u
u
0
2
0
2
1
2
1
0
1
0
2
1
2
4
,
1
k
;
(1.22)
k
f
u
C
u
C
u
0
2
0
0
0
2
0
1
2
1
0
)
0
(
4
1
4
,
0
k
.
Bu holda ayirmali sxemaning ustivorlik sharti quyidagicha
.
2
1
C
Do'stlaringiz bilan baham: |
