V bob. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun ayirmali sxemalar

V BOB. IKKINCHI TARTIBLI ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR UCHUN AYIRMALI SXEMALAR

Mazkur bobda ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun ayirmali sxemalar qaralgan bo’lib, unda ikkinchi tartibli ayirmali operatorning xossalari, ayirmali tengsizliklar, ayirmali ayniyatlarga oid ma’lumotlar keltiriladi.

5.1-§. Ikkinchi tartibli ayirmali operatorning xossalari
Ikkinchi tartibli ayirmali operatorni qaraylik. Ushbu operatorni quyidagi ko`rinishda yozish qulay:
(5.1)
Tenglama (5.1) ning ikkinchi tartibli ayirmali tenglama ekanligini ko`rsatamiz.
Buning uchun tenglamaning chap tarafiga va ni ham qo`shamiz, ham ayiramiz:

Oxirgi tenglamada unchalik murakkab bo`lmagan almashtirishlar o`tkazamiz:
(5.2)
Hosil bo`lgan tenglamada

almashtirishdan foydalansak
(5.2`)
tenglamani hosil qilamiz. Endi quyidagi ayirmali munosabatlarni e’tiborga olgan holda

tenglama (5.2`) ni quyidagicha o`zgartirib yozish mumkin

yoki

Dastlabki tenglama (5.1) ni boshqacha qilib ham yozish mumkinki bunda operator ning oldida bo`ladi, chunki bu holda ham tenglama (5.1) ning ikkinchi tartibli ekanligini ko`rish mumkin:

shunday qilib, tenglama (5.1)–ikkinchli tartibli differensial tenglamaning analogi.
Endi ikkinchi tartibli ayirmali operatorning o`z-o`ziga qo`shma bo`lish shartini qaraymiz
(5.3)
bu yerda
ya’ni
ayirmali to`rning ichki nuqtalarida aniqlangan va to`rning chegaralarida nolga aylanuvchi funksiyalar fazosi.
Ikkinchi tartibli ayirmali operator (5.3) ning o`z-o`ziga qo`shma bo`lishining zaruriylik va yetarlilik sharti
(5.4)
tenglik (5.4) dan iborat ekanligini ko`rsatamiz.
Shu maqsadda ni ushbu yig`indi ko`rinishida ifodalaymiz, bu yerda

Operator Grinning ikkinchi formulasiga asosan fazoda o`z-o`ziga qo`shma:
ixtiyoriy .
shu sababli quyidagini yozishimiz mumkin
(5.5)
Bundan ko`rinadiki, munosabat ixtiyoriy uchun o`rinli bo`ladi, ya’ni operator o`z-o`ziga qo`shma bo`lsa, bu holda

munosabat o`rinli. To`r funksiyalari va larning ixtiyoriy ekanligini e’tiborga olsak, deb olish mumkin, bu yerda biror-bir fiksirlangan tugun hamda agarda Kroneker simvoli. Bu holda va shart (5.5) quyidagini beradi ya’ni shart (5.4) ayirmali operator ning o`z-o`ziga qo`shma bo`lishi uchun zarurdir. Shart (5.4) ning yetarliligi o`z-o`zidan ko`rinadi, chunki munosabat (5.4) dan bo`lganda shart (5.5) ning bajarilishi kelib chiqadi.