Mavzu: n-tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularning asosiy xossalari

Mavzu: n-tartibli chiziqli differensial tenglamalar va ularning asosiy xossalari.

n-tartibli chiziqli tenglamalarning umumiy xossalari

1. n-tartibli differensial tenglamalarning muhim xususiy holi n-tartibli chiziqli differensial tenglamalar bo'lib, ular

(1)

ko'rinishda yoziladi. Bu yerda funksiyalar biror intervalda aniqlangan va uzluksiz bo'lib, funksiya (1) tenglamaning o'ng tomoni yoki erkin hadi. funksiyalar esa uning koeffitsiyentlari deb yuritiladi.

Agar (1) tenglamada funksiya intervalda aynan nolga teng bo'lmasa, u holda (1) tenglama chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglama deyiladi. Agar bo'lsa, mos differensial tenglama

(2)

chiziqli bir jinsli tenglama deyiladi.

Endi (1) differensial tenglama uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi bilan shug'ullanamiz. (1) tenglamani yuqori xosilaga nisbatan yechish mumkin:

(3)

bu esa oldingi boblarga ko'ra

(4)

Bu funksiya

sohada aniqlangan. Agar funksiyalar oraliqda uzluksiz bo'lsa, u holda (4) funksiya tegishli sohada uzluksiz va lar bo'yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi. Haqiqatan, funksiya lar bo'yicha intervalda uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega, chunki va da uzluksiz. Agar

desak, funksiya da lar bo'yicha konstanta bilan Lipshits shartini qanoatlantiradi. Bundan uchun (1) tenglama , shartni qanoatlantiradigan yagona yechimga egaligi kelib chiqadi. Ammo bu yechim oraliqda aniqlangan bo'ladimi ? degan savol tug'iladi. Pikar teoremasiga ko'ra tegishli yechim da aniqlangan bo'lib, bo'ladi. Bunda

Ko'rilayotgan (1) chiziqli differensial tenglama uchun yetarli katta bo'lishi mumkin. Shunga o'xshash miqdorlar oraliqda funksiya va lar qanchalik o'sishiga bog'liq. Shuning uchun (1) tenglama yechimini aniqlanish intervali Pikar teoremasi yordamida yana to'laroq aniqlanishi lozim. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarning normal sistemasi uchun yechim yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema keyingi boblarda ko'riladi. Unda ko'ramizki, (1) differensial tenglamaning tegishli boshlang'ich shartni qanoatlantiradigan yechimi uning koeffitsiyentlari va o'ng tomoni intervalda aniqlangan bo'ladi. Boshqacha aytganda, (1) chiziqli differensial tenglama uchun interval yechim mavjudligining maksimal intervali, tegishli yechim esa davomsiz bo'ladi. Bu n-tartibli chiziqli differensial tenglamalarning muhim xossasidir.

Agar alohida aytilmagan bo'lsa keyingi mulohazalarda koeffitsiyent biror intervalda aniqlangan va uzluksiz deb faraz qilinadi.

2. Endi (1) differensial tenglamaning yana muhim ikki xossasiga qisqacha to'xtalamiz.

1) Erkli o'zgaruvchini almashtirish natijasida (1) differensial tenglama yana chiziqli differensial tenglamaga o'tadi.

Agar almashtirish bajarsak, bevosita hisoblashlarni amalga oshirib, ushbu

ko'rinishdagi tenglamaga kelamiz. Bu tenglamaning chap va o'ng tomonlarini ga ko'paytirib, yana (1) turdagi differensial tenglamani hosil qilamiz.

2) Noma'lum funksiyani chiziqli almashtirish natijasida (1) tenglama yana chiziqli differensial tenglamaga o'tadi.

Agar almashtirishni bajarsak, (1) tenglama yana shu turdagi tenglamaga o'tadi. Bunga bevosita hisoblashlar yordamida ishonish mumkin. Eslatib o'tamizki, bo'lganda bir jinsli chiziqli differensial tenglama, umuman aytganda, yana bir jinsli tenglamaga o'tmaydi. Agar bo'lsa, almashtirish bir jinsli tenglamani yana bir jinsliga o'tkazadi. Shu almashtirishdan bo'yicha differensial tenglamada hosilani chiqarib tashlashda ham foydalanadi. Buning uchun hosila oldidagi koeffitsiyent ni tanlash hisobiga nolga aylanishi lozim. Haqiqatan, almashtirish natijasida (2) chiziqli bir jinsli tenglama ushbu

tenglamaga keladi. Bundan ni nolga tenglasak, birinchi tartibli o'zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga ega bo'lamiz. Bizga tegishli almashtirish uchun biror funksiya yetarli bo'lganidan uni

(4)