Скалярно расписав это равенство, получим для каждого из базисных не-
известных оптимального плана следующее аналитическое выражение:
𝑥
𝑗
∗
= ∑
𝑑
𝑗𝑖
𝑏
𝑖
𝑚
𝑖=1
.
(4.5)
Так как обращение матрицы предусматривает ее транспонирование, то по
строкам матрицы
D
идут продукты, а по столбцам — ресурсы. Отсюда индек-
сация элементов
𝑑
𝑗𝑖
именно в таком, обратном первоначальному порядке.
Матрица
D
характеризует влияние ресурсов на
величину выпуска про-
дукции. Изменим размер выделяемых ресурсов, т.е. дадим приращение
вектору
. Тогда:
Х
*
+
Х
*
=
D
(
B
+
B
) =
DB
+
D
B
.
C учетом (3.2) можем записать:
Х
*
=
D
B
.
(4.6)
Или скалярно для каждого базисного переменного:
∆𝑥
𝑗
∗
= ∑
𝑑
𝑗𝑖
∆𝑏
𝑖
𝑚
𝑖=1
.
(4.7)
В нашем примере (см. ограничения (4.1)) матрицу
А
*
образуют те столбцы
норм затрат, которые соответствуют базисным в оптимальном плане неизвест-
ным
х
1
*
,
х
2
*
,
х
4
*
:
𝑥
1
∗
𝑥
2
∗
𝑥
4
∗
𝑥
3
𝑥
4
𝑥
5
𝐴
∗
=
𝑥
3
𝑥
4
𝑥
5
[
0,05
0,5
0
1,1
1
−1
0,225 0,25
0
]
;
𝐷 =
𝑥
1
∗
𝑥
2
∗
𝑥
4
∗
[
−2,5 0
5
2,21 0 −0,5
0,5
1
−5
]
.
В полученной матрице
D
строки соответствуют базисным переменным
𝑥
1
*
,
𝑥
2
*
,
𝑥
4
*
, а столбцы — ресурсам. Сравнив ее с таблицей на 4.1,
в
, видим, что
матрица эффективности
D
фактически представлена в столбцах таблицы рис.
4.1,
в
последнего шага решения. Следует пояснить, что строки в таблице на рис.
4.1,
в
чередуются в
порядке, сложившемся в процессе решения задачи (
𝑥
2
,
𝑥
4
,
𝑥
1
).
Вектор оптимального плана
Х
*
может быть получен согласно условию
(4.4) как произведение матрицы
D
на
вектор ресурсов
В
:
[
−2,5 0
5
2,25 0 −0,5
0,5
1
−5
] × [
20
180
32
] = [
110
29
30
]
.
Или же каждое значение базисного неизвестного может быть получено
отдельно из условия (4.5), например:
𝑥
2
*
= 2,25 × 20 + 0 × 180 + (–0,5) × 32 = 29.
Пусть фонд оборотных средств возрос на 10 тыс. руб., трудовые ресурсы
уменьшились на 10 тыс. человеко-часов, а ресурсы электроэнергии остались те
же. Согласно (4.6) последуют следующие изменения плана добычи:
∆𝑋
∗
= [
−2,5 0
5
2,25 0 −0,5
0,5
1
−5
] × [
10
0
−10
] = [
−75
27,5
55
]
.
59
А в целом план добычи будет таким:
𝑋
∗
+ ∆𝑋
∗
= [
110
29
30
] + [
−75
27,5
55
] = [
35
56,5
85
]
.
Для заданного в исходной модели вектора наличного запаса ресурсов
В
=
(20, 180, 32) значение целевой функции
с
= 62,3 тыс. т суммарной добычи
условного топлива. В случае указанного выше изменения вектора ресурсов на
величину
В
= (10,0,–10) получено изменение
оптимального плана добычи
торфа на величину
𝑥
1
*
= –75 тыс. т и угля на величину
𝑥
2
*
=27,5 тыс. т. Опре-
делим величину, на которую изменился критерий оптимальности:
с
= 0,25 ×
(–75) + 1,2 × 27,5 = 14,25 (тыс. т условного топлива). Таким образом, экономи-
ческий эффект от указанного изменения вектора ресурсов оказывается положи-
тельным. Оценим данный результат с позиций двойственных оценок ресурсов.
Исходя из последней симплекс-таблицы на рис. 4.1,
в
(значений коэффициентов
первой строки), двойственная оценка оборотных средств предприятия равна
2,075 т условного топлива / руб., двойственная оценка ресурсов — 0,65 т
условного топлива / человеко-час, а двойственная оценка ресурсов электро-
энергии — нулевая (так как переменная
х
4
находится среди базисных перемен-
ных исходной задачи, являющейся по определению прямой).
В силу первой теоремы двойственности увеличение в потреблении пред-
приятия оборотных средств в размере 10 тыс. руб. приведет к увеличению вы-
пуска условного топлива на 10 × 2,075 = 20,75 тыс. т, а уменьшение трудовых
ресурсов на 10 тыс. человеко-часов приведет к уменьшению выпуска на 10 ×
0,65 = 6,5 тыс. т. Суммарный эффект составит 20,75 – 6,5 = 14,25 тыс. т, т.е.
совпадет в рассчитанным выше.
Рассмотрим
вектор
Х
, в который входят свободные переменные из по-
следней симплекс-таблицы. Вектор
Х
формируют те неэффективные виды
продукции, производство которых в оптимальном плане невыгодно.
Однако в
ряде случаев может оказаться необходимым их производство (например, кор-
ректировка плана в конце года) или целесообразен анализ альтернативных пла-
нов выпуска. Для производства новой продукции, задаваемой конкретными
значениями вектора
Do'stlaringiz bilan baham: 
