Российский экономический

Глава 4. Экономико-математический 
анализ решений оптимизационных 
задач 
4.1. Матрица эффективности 
и коэффициенты замены 
Вернемся к модели (2.1) — (2.6) из второй главы и методом, изложенным 
в главе 3, получим ее оптимальное решение. Будем считать основными неиз-
вестными в задаче 
х
1
и
х
2
— искомые объемы добычи соответственно торфа и 
угля, а через 
х
3
, 
х
4
, 
х
5 
будем обозначать неиспользованные остатки ресурсов 
(соответственно, оборотных средств предприятия, электроэнергии и трудовых 
ресурсов). Для удобства записи и последующих вычислений все коэффициенты 
матрицы ограничений увеличим в тысячу раз. Таким образом, ресурсы теперь 
измеряются в тыс. (руб., кВт ч, человеко-часах), а топливо — в тыс. т. 
Приведем канонический вид модели (2.1) — (2.6) и в последующих рисун-
ках (4.1, 
а — в
) представим симплекс-процедуру поиска оптимального плана: 
[
с = 0 − (−0,25𝑥
1
− 1,2𝑥
2
→ max; нумерация;
𝑥
3
= 20 − (0,05𝑥
1
+ 0,5𝑥
2
);
𝑥
4
= 180 − (1,1𝑥
1
+ 1 ∙ 𝑥
2
);
𝑥
5
= 32 − (0,225𝑥
1
+ 0,25𝑥
2
);
𝑥
1
, 𝑥
2
, 𝑥
3
, 𝑥
4
, 𝑥
5
≥ 0.
а 
б 
54

---

в 
Рис. 4.1.
Симплекс-процедура поиска оптимального плана 
Итак, оптимальным планом предусматривается добыча 110 тыс. т торфа и 
29 тыс. т угля. При этом остаток неиспользованной электроэнергии составляет 
30 тыс. кВт ч, а оборотные средства предприятия и его трудовые ресурсы ис-
пользуются полностью. 
Двойственная оценка оборотных средств 2,075 (размерность оценки: тон-
ны условного топлива / у.е. стоимости оборотных средств), а двойственная 
оценка трудовых ресурсов 0,65 (размерность оценки: тонны условного топлива 
/ человеко-час). 
Рассмотрим подробно экономическое содержание коэффициентов в сим-
плекс-таблицах от начального плана (рис. 4.1, 
а
) к промежуточному (рис. 4.1, 
б
) 
и далее к окончательному (рис. 4.1, 
в
). 
По начальному плану, представленному в таблице на рис. 4.1, 
а
, добыча 
топлива не производится (
𝑥
1
и
 
𝑥
2
в базис не входят и равны нулю). Неисполь-
зованные остатки ресурсов равны их полному объему (
𝑥
3
= 20, 
𝑥
4
= 180, 
𝑥
5
= 
32), т.е. ресурсы «сберегаются» целиком. Естественно, производство условного 
топлива равно нулю. 
Элементы левых верхних углов в клетках, относящихся к свободным пе-
ременным (столбцам таблицы), по своему содержанию выступают коэффици-
ентами замены неизвестных. Они показывают, в каком соотношении любые из 
неизвестных могут заменить базисные неизвестные в плане данного шага. Так, 
в таблице на рис. 4.1, 
а
на пересечении строки 
𝑥
3
и столбца 
x
1 
элемент 0,05 яв-
ляется нормой затрат оборотных средств в рублях на тонну торфа. Таким обра-
зом, добыча одной тонны торфа (неизвестное 
𝑥
1
) уменьшит неиспользованный 
остаток фонда оборотных средств (т.е. значение неизвестного 
𝑥
3
) на 0,05 руб. 
Аналогично, одна тонна торфа заменяет (вытесняет) из плана 1,1 кВт ч неис-
пользованного остатка ресурсов электроэнергии и 0,225 человека-часа неис-
пользованного остатка трудовых ресурсов. 
Элементы первой строки показывают размеры уменьшения значения кри-
терия оптимальности от замены (вытеснения) базисных неизвестных свободной 
неизвестной. Так, этот показатель в таблице на рис. 4.1,