Российский экономический

в
). Коэффициенты замены в 
столбцах 
х
5
 — х
6 
показывают, сколько единиц того или иного базисного неиз-
вестного вытеснит неиспользованная единица того или иного ресурса. Однако 
неиспользование единицы ресурса равноценно уменьшению на единицу его ко-
личества. Таким образом, коэффициенты замены из столбцов свободных неиз-
вестных покажут размер уменьшения базисных неизвестных при уменьшении 
количества выделяемых ресурсов на единицу. 
Например, уменьшим трудовые ресурсы с 32 до 31 тыс. человеко-часов. 
Тогда с учетом того, что в оптимальном плане 
𝑥
3
 = 
𝑥
5
= 0, ограничения по ис-
пользованию ресурсов запишутся так: 
{
0,05 𝑥
1
+ 0,5 𝑥
2
+ 0 

𝑥
4
= 20;
1,1 𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 1

𝑥
4
= 180;
0,225 𝑥
1
+ 0,25 𝑥
2
+ 0 

𝑥
4
= 31.
(4.1) 
Откуда 
𝑥
1
= 105, 
𝑥
2
= 29,5, 
𝑥
4
= 35, что даст 0,25 × 105 + 1,2 × 29,5 + 0 × 
35 = = 61,65 тыс. т условного топлива. Сравнив с первоначальным оптималь-
ным планом (см. рис. 4.1, 
в
), видим, что добыча торфа уменьшилась на 5 тыс. т, 
а угля увеличилась (отрицательное уменьшение) на 0,5 тыс. т, увеличился так-
57

---

же на 5 тыс. кВт ч неиспользованный остаток ресурсов электроэнергии. Значе-
ние же критерия оптимальности уменьшилось на 0,65 тыс. т условного топлива. 
Наоборот, увеличив трудовые ресурсы на 1 тыс. человеко-часов, полу-
чим: 
{
0,05 𝑥
1
+ 0,5 𝑥
2
+ 0𝑥
4
= 20;
1,1 𝑥
1
+ 𝑥
2
+ 1𝑥
4
= 180;
0,225 𝑥
1
+ 0,25 𝑥
2
+ 0𝑥
4
= 33.
(4.2) 
Откуда 
𝑥
1
= 115, 
𝑥
2
= 28,5, 
𝑥
4
= 25, что даст 0,25 × 105 + 1,2 × 29,5 + 0 × 35 
= 62,95 тыс. т условного топлива. Таким образом, коэффициенты замены из 
столбцов свободных неизвестных показывают и размер увеличения базисных 
неизвестных при увеличении количества выделяемых ресурсов на единицу. 
Представим это в общем виде. Модель (2.1) — (2.6) в матричном виде вы-
глядит следующим образом: 
АХ

В
; 
Х

0; 
РХ

max, 
где 
А
— матрица норм затрат (размерность
 m 
×
 n
); 
В
— вектор-столбец лимитов ресурсов (
m 
× 1); 
Р
— вектор-строка удельной прибыльности продукции (1 ×
 n
); 
Х
— вектор-столбец выпуска (
n 
× 1); 
0 — нулевой вектор-столбец (1 ×
 n
). 
С учетом введения дополнительных переменных 
𝑥
𝑛+1
: 
АХ
= 
В
; 
Х

0; 
РХ

max, 
где вектор Х, а следовательно, и вектор 0 имеют размерность (
n
+ 
m
) × 1, 
а матрица А — 
m
× (
n
+ 
m
) . 
Пусть известен оптимальный план. Разобьем тогда вектор выпуска на два 
подвектора: 
Х
* 


и 
Х

= 0. В первый из них включены неизвестные, вошедшие 
в базис оптимального решения (т.е. ненулевые в оптимальном плане). Соответ-
ственно, матрицу 
А
разобьем на две подматрицы: невырожденную