Российский экономический

3.3. Линейные модели описания операций 
После описания ряда моделей и их обобщения в основной планово-
производственной задаче Канторовича целесообразно рассмотреть некоторые 
теоретические проблемы описания функционирования производственных си-
стем. Известно, что для описания процесса функционирования производствен-
ной системы используется метод производственных функций. 
Пусть, как и выше, в процессе производства система использует 
т 
видов 
ресурсов и пусть вектор 
𝑏̅ = (𝑏
1
, … , 𝑏
𝑚
) ∈ 𝑅
+
𝑚
характеризует набор используе-
мых ресурсов. В свою очередь, производственная система включает определен-
ный набор технологических способов производства: 
Т
1
,...,
Т
r
, при этом по 
s
-му 
способу выпускается продукция 
s
-го наименования, в производстве которой 
используются все виды ресурсов или только некоторая их часть. Производ-
ственная функция связывает объем потребляемых по 
s
-й технологии ресурсов с 
величиной выпуска валовой (в натуральных единицах) или товарной (в стои-
мостном выражении) продукции 
s
-го наименования. 
Таким образом, 
𝑥
𝑠
= 𝑓
𝑠
(𝑏
1
, … , 𝑏
𝑚
)
, где 
х
s
— объем продукции, выпускае-
мой по 
s
-й технологии, а 
f
s
— соответствующая производственная функция 
(ПФ). 
Если математическая сущность ПФ заключается в том, что она задает 
отображение множества наборов ресурсов 
𝑅 
̃

𝑅
+
𝑚
на множество товарных вы-
48

---

пусков 
𝑅
+
𝑚
, то экономическая сущность ПФ заключается в том, что соотноше-
ние 
𝑥
𝑠
= 𝑓
𝑠
(𝑏
1
, … , 𝑏
𝑚
)
выражает объем продукции, выпущенной по 
s
-й техноло-
гии, при наиболее рациональном использовании ресурсов. Основной целью 
функционирования системы управления производством является выбор вектора 
ресурсов 
𝑏̅ ∈ 𝑅̃
, а также способа реализации технологии 
Т
s
, при котором будет 
реализован оптимальный способ использования ресурсов. 
Производственная функция является одним из основных инструментов 
планово-производственных 
расчетов 
при 
анализе 
производственно-
коммерческой деятельности промышленной фирмы. Как будет ясно из даль-
нейшего, ПФ объектов микроэкономики могут быть как линейными, так и 
(очень часто) нелинейными. 
Рассмотрим очень важный для модельных приложений случай, когда тех-
нологическое множество производственной системы является линейным вы-
пуклым множеством. В этом случае модель производства оказывается линей-
ной. 
Основная предпосылка возможного применения этой модели состоит в 
том, что любой происходящий производственный процесс можно представить в 
виде линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами некоторых 
основных (или базовых) производственных процессов. В свою очередь, каждый 
из этих процессов задается при помощи вектора «выпуск — затраты», размер-
ность которого определяется суммой количества видов производимых продук-
тов и потребляемых ресурсов. Коэффициенты в разложении данного производ-
ственного процесса по базовым производственным процессам назовем, как и 
выше, интенсивностями основных способов. 
Одним из примеров, характеризующих сказанное, является интерпрета-
ция основного производственного способа как производства продукции и рас-
хода ресурсов в единицу времени. В этом случае величины интенсивностей вы-
ражают собой, например, количество смен работы некоторого производствен-
ного участка по какой-либо из 
r 
технологий. В этом случае основные показате-
ли выпуска продукции и затрат ресурсов на всем производстве являются сум-
мой выпусков и затрат отдельных участков. Последнее и служит основой для 
представления модели производства как линейной. 
Дадим теперь строгие предположения относительно множества техноло-
гий 
Т
1
,...,
Т
r
, которые приводят к линейным моделям.