Российский экономический

Замечание. 
Совместно предположения 3.1 и 3.2 означают, что технологиче-
ское множество является выпуклым конусом. Предположение 3.3, выделяющее 
линейные технологии, означает, что этот конус является выпуклым многогран-
ником в полупространстве
𝑅
+
𝑚+𝐾
. 
Таким образом, в качестве основного параметра линейной производ-
ственной системы можно принять вектор основных производственных спосо-
бов 
Р
1
,...,
Р
К
. Характеристикой внутреннего состояния системы следует считать 
неотрицательный вектор их интенсивностей 
β̅ = (β
1
, … , β
𝑘
)
. Вектор 
𝑝̅
, описы-
вающий функционирование всего производства, имеет вид 
(𝑥
𝑠
, 𝑏̅) = ∑
β
𝑘
𝑃
𝑘
𝐾
𝑘=1
. 
При помощи ограничений на компоненты вектора 
𝑝̅
формируются произ-
водственные и ресурсные ограничения на множества допустимых значений ин-
тенсивностей основных технологических процессов. Кроме того, каждая произ-
водственная система обладает специфическими ограничениями на интенсивно-
сти отдельных технологических способов, обусловленными особенностями 
производства. 
На множестве возможных состояний формируется некоторое правило вы-
бора наилучшего или оптимального состояния производственной системы. 
Наиболее часто это правило имеет содержательный смысл выпуска наибольше-
го количества продукции, максимального увеличения прибыли или минимиза-
ции затрат. Иногда это правило формулируется путем постановки задачи мно-
гоцелевой оптимизации.
Итак, мы рассмотрели связи, существующие между производственными 
функциями и основной планово-производственной задачей Канторовича, явля-
ющейся обобщением линейных оптимизационных задач. Не случайно наиболее 
общие из встречающихся в литературе многочисленных определений произ-
водственной функции не противоречат по своей сути содержанию оптимизаци-
онных задач, а определение множества производственных возможностей, как 
множества всех возможных сочетаний затрат и выпусков, корреспондирует с 
определением области допустимых планов. При этом мы оставались в рамках 
наиболее простого с математической стороны случая линейности всех исследу-
емых зависимостей, т.е. в рамках предпосылки о пропорциональности затрат 
выпускам, и наоборот. 
Представим себе любую линейную оптимизационную задачу и кратко 
напомним основные особенности симплекс-метода. Его идея состоит в перехо-
де от одного базисного (опорного) плана к другому таким образом, что линей-
ная форма улучшается на каждом шаге и достигает экстремума. Переход про-
исходит по вершинам выпуклого многогранника условий в 
n
-мерном простран-
50

---

стве, причем на каждом шаге переход осуществляется в соседнюю вершину. 
При нахождении в такой вершине проводится проверка плана на оптималь-
ность. Линейная форма (гиперплоскость) делит все пространство на две части. 
Вершинам, находящимся в верхней части, соответствуют отрицательные эле-
менты целевой строки, а вершинам из нижней части — положительные. Пере-
ход осуществляется только в соседние вершины из верхнего полупространства 
до тех пор, пока в нем не останется ни одной вершины. Переход проводится в 
ту вершину, которой соответствует максимальный по абсолютной величине из 
отрицательных элементов целевой строки. Если на последнем шаге линейная 
форма имеет более одной общей точки с выпуклым многогранником условий, 
то имеется множество оптимальных планов. Итак, отличительной особенно-
стью метода является движение к оптимуму по вершинам. Все отмеченные вы-
ше особенности можно проследить на рис. 3.1, где представлен многогранник 
условий ОАВСD и показаны положения линейной формы при последователь-
ном движении по вершинам О, А и В (точка оптимума). 
На данном рисунке (см. рис. 3.1) хорошо видно, что для задач линейного 
программирования характерно следующее. 
1. Множество допустимых решений выпукло и имеет конечное число 
крайних точек (вершин). 
2. Целевая функция представляет собой гиперплоскость. Гиперплоскости, 
соответствующие разным значениям целевой функции параллельны. 
3. Локальный оптимум является одновременно и глобальным оптимумом.
4. Если целевая функция ограничена на множестве допустимых решений, 
то оптимум достигается, по крайней мере, в одной из крайних точек вершин 
этого множества, и, начав с произвольной вершины, перемещаясь затем на 
каждом шаге в соседнюю, достигаем точки оптимума за конечное число шагов. 
В задачах нелинейного программирования эти условия полностью или 
частично не соблюдаются. Рассмотрим следующий случай.