Российский экономический

Контрольные вопросы 
1. Перечислите основные элементы экономико-математической модели. 
2. Может ли одна и та же совокупность математических выражений, включающая 
критерий оптимальности и систему ограничений, описывать различные эконо-
мические объекты?
3. Какую роль играет горизонт планирования при составлении модели выбора 
эффективного варианта производственной программы предприятия?
4. Какая цель преследуется при агрегировании производственных ресурсов (фак-
торов) в группы? Какие этапы включает в себя процедура агрегирования?
5. Что означает линейная зависимость объемов используемых ресурсов и выпус-
ка?
6. Правильно ли следующее утверждение: «Если коэффициенты матрицы прямых 
затрат увеличить в два раза, то компоненты вектора оптимального решения в 
задаче на максимум дохода уменьшатся в два раза»
? 
7. В чем отличие «вариантной» и «безвариантной» постановок задач на максимум 
дохода?
39

---

8. Как связаны между собой наличие ограничений по производственной програм-
ме предприятия и «эффект структуры»
оптимального решения? 
9. Назовите области применения оптимизационных задач в ассортиментной по-
становке.
10. В чем заключается противоречие между критерием в задаче на максимум за-
грузки оборудования и экономическим содержанием оптимального плана этой 
задачи? Как снимается это противоречие?
40

---

Глава 3. Модели 
линейной оптимизации 
3.1. Планово-производственная задача Канторовича 
Производственные задачи, различаясь видом критерия оптимальности, 
обладают похожими ограничениями. Это дает возможность провести обобще-
ние и построить универсальную модель операций. Инструментом этого обоб-
щения и средством придания модели свойства универсальности выступают ин-
гредиенты и технологические способы. 
Термин «ингредиент», т.е. составная часть, введен для общего обозначе-
ния любого фактора, участвующего в производственном процессе, таковыми 
могут быть ресурсы разного рода, промежуточная продукция (полуфабрикаты), 
а также конечная продукция данного хозяйственного объекта, в чем бы она не 
выражалась. Итак, ингредиенты могут быть трех видов: ресурсы, промежуточ-
ная продукция, конечная продукция. 
Под технологическими способами (технологиями, производственными 
способами) понимаются различные способы соединения ингредиентов в про-
цессе производства. Они могут разниться по видам конкретных технологиче-
ских процессов выпускаемой продукции, используемых ресурсов, а также и по 
конечному эффекту с точки зрения выбранного критерия оптимальности. Это 
может быть не только технологический способ производства, но и транспорти-
ровки, хранения, оказания услуг и т.д. Итак, технологический способ жестко 
определен участием в нем тех или иных ингредиентов, размерами этого уча-
стия, а следовательно, и их соотношением между собой в рамках данной техно-
логии и, кроме того, определенным значением критериального показателя. 
Под участием здесь понимается, что каждый ингредиент в каждом из спо-
собов может либо производиться, либо расходоваться, либо не участвовать во-
все (нулевое участие). Причем производство (расходование) одного и того же 
ингредиента возможно в нескольких способах. В силу этого имеет место взаи-
мозаменяемость технологических способов, а следовательно, и возможность 
выбора наиболее выгодных из них. С другой стороны, в разных способах один 
и тот же ингредиент может то производиться, то тратиться, но может и не 
участвовать. Отсюда следует взаимодополнение технологических способов. 
Кроме того, наличие взаимозаменяемости и взаимодополняемости технологи-
ческих способов ведет в конечном счете и к взаимозаменяемости ресурсов 
(продукции) в рамках задачи в целом, хотя в каждом из способов соотношение 
ингредиентов жестко закреплено, и они невзаимозаменяемы. 
Конкретный вид участия характеризуется знаками «плюс» или «минус». 
Все величины (как удельные, так и объемные), обозначающие размеры выпуска 
будут положительными, а размеры затрат — отрицательными. Факт неучастия 
отражается нулевой величиной соответствующего показателя. Подобный прием 
позволяет каждый из технологических способов (столбец коэффициентов) или 
же весь данный хозяйственный объект (столбец правых частей) рассматривать с 
41

---

точки зрения обмена ингредиентами с внешней средой: технологического спо-
соба с объектом в целом; объекта с поставщиками, потребителями и т.п. Отри-
цательными величинами обозначается все, что поступает извне, положитель-
ными — все, что выдается вовне, нулевыми — отсутствие и того и другого. 
Подобное описание целесообразно в тех случаях, когда продукция одних 
технологических способов служит ресурсом в других. Забегая несколько впе-
ред, отметим, что этот подход может распространяться и на переменные вели-
чины. 
После предварительных разъяснений запишем модель основной планово-
производственной задачи Канторовича. 
Введем следующие обозначения: 
i — 
индекс ингредиента (
i 
= 1, 2,...,
m
); 
s — 
индекс технологического способа (
s
= 1, 2,...,
r
); 
b
i — 
общий объем
 
i
-го ингредиента в производственном процессе модели-
руемого хозяйственного объекта; при этом если
 i
-й ингредиент является конеч-
ным продуктом, то
 b
i 


, если ресурсом, то
 
b
i 


, а если 
i
-й ингредиент целиком 
производится и потребляется внутри объекта и является промежуточным про-
дуктом, то 
b
i
 


; 
a
is — 
норма участия 
i
-го ингредиента в
 
s
-м технологическом способе на 
единицу его (т.е. способа) интенсивности; при этом если 
i
-й ингредиент выпус-
кается, то
 a
is 


, и норма участия есть не что иное, как величина выпуска 
i
-го 
ингредиента
 
при единичной интенсивности использования способа
s
, если 
i
-й 
ингредиент затрачивается, то
 a
is 


, и в этом случае норма участия есть норма 
затрат ингредиента
 
i 
на единицу интенсивности способа
 s
, если 
i
-й ингредиент и 
не выпускается, и не затрачивается, то
 a
is 


;
 
p
s — 
коэффициент эффективности 
s
-го технологического способа в расчете 
на единицу его интенсивности; например, при выборе в качестве критерия оп-
тимальности максимума прибыли величины
 p
s 
являются величиной прибыли от 
использования 
s
-го технологического способа с единичной интенсивностью;
 
x
s — 
интенсивность
 s
-го технологического способа; она показывает разме-
ры его использования при том или ином варианте плана и может измеряться 
через любой из ингредиентов, т.е. размером выпуска какого-либо конечного 
продукта (или даже промежуточного продукта), либо количеством затрачивае-
мого ресурса (промежуточного продукта) любого вида. 
В принятых обозначениях модель основной планово-производственной 
задачи будет выглядеть следующим образом: 
∑
𝑝
𝑠
𝑥
𝑠
→ max
𝑟
𝑠=1
,
(3.1) 
∑
𝑎
𝑖𝑠
𝑥
𝑠
≤ 𝑏
𝑖
𝑟
𝑠=1
, 
(i = 1, 2,...,m); 
(3.2)
𝑥
𝑠

0, (s = 1, 2,...,r). 
(3.3)
Более подробно обсудим, каким образом измеряется интенсивность тех-
нологических способов. Поясним на примере, представленном в табл. 3.1. 
Следует отметить, что в последней строке таблицы величина показателя 
прибыли учитывает общий итог выручки от реализации не только продукции Б, 
42

---

но и реализуемых отходов, а также как затраты, возникающие при расходова-
нии ресурсов, так и затраты, связанные с выпуском и расходом промежуточной 
продукции В и Г соответственно. Кроме того, здесь же может учитываться и 
общий итог затрат и выпуска тех второстепенных видов ресурсов, конечной и 
промежуточной продукции, которые не были включены в модель, но в реаль-
ном процессе производства тратятся и выпускаются в рамках данной техноло-
гии.
Таблица 3.1