k —
индекс предприятия, входящего в данное объединение, фирму (
k
= 1,
2,...,
l
);
r
— индекс варианта плана производства на
k
-м предприятии (
r
= 1,
2,...,
s
k
);
b
i
— наличие
i
-го ресурса;
b
j
— план выпуска
j
-ой продукции;
a
ikr
— общий объем потребления
i
-го ресурса на
k
-м предприятии при его
работе целиком по
r
-му варианту;
a
jkr
— общие размеры выпуска
j
-й продукции на
k
-м предприятии при его
работе целиком по
r
-му варианту;
p
kr —
общее количество прибыли
k
-го предприятия при его работе целиком
по
r
-му варианту;
x
kr
— интенсивность использования
r
-го варианта на
k
-м предприятии.
Таким образом, набор известных величин
a
ikr
,
a
jkr
и
p
kr
однозначно опре-
делит любой из вариантов на каждом предприятии. Следует подчеркнуть, что в
отличие от предыдущих моделей величины
a
ikr
,
a
jkr
и
p
kr
не являются удельными
величинами. Они
характеризуют расход ресурсов, выпуск продукции и при-
быль при реализации на
k
-м предприятии
r
-го варианта в полном его объеме.
Кроме того, сразу оговорим, что критерием оптимальности может быть не обя-
зательно максимум прибыли, а любой из рассмотренных выше.
В принятых обозначениях модель вариантной
производственной задачи
запишется следующим образом.
Найти значения переменных
x
kr
, максимизирующих целевую функцию:
∑
∑
𝑝
𝑘𝑟
𝑥
𝑘𝑟
→ max
𝑠𝑘
𝑟=1
𝑙
𝑘=1
(2.33)
(т.е. максимизировать совокупный объем прибыли всего объединения,
фирмы) при выполнении ограничений на использование ресурсов:
∑
∑
𝑎
𝑖𝑘𝑟
𝑥
𝑘𝑟
≤ 𝑏
𝑖
𝑠𝑘
𝑟=1
𝑙
𝑘=1
, (i = 1, 2,...,m)
(2.34)
по выполнению производственной программы:
∑
∑
𝑎
𝑖𝑘𝑟
𝑥
𝑘𝑟
≥ 𝑏
𝑗
𝑠𝑘
𝑟=1
𝑙
𝑘=1
, (j = 1, 2,...,n)
(2.35)
по выбору вариантов:
∑
𝑥
𝑘𝑟
= 1
𝑠𝑘
𝑟=1
, (k = 1, 2,...,r)
(2.36)
и целочисленности переменных:
𝑥
𝑘𝑟
= {0
1
,
(
k
= 1, 2,...,l), (
r
= 1, 2,...,
𝑠
𝑘
).
(2.37)
Ограничения вида (2.37) показывают, что
интенсивность использования
любого из вариантов может принимать лишь два значения, соответственно ко-
торым он может быть либо принят (в случае
x
kr
= 1), либо отвергнут (в случае
x
kr
= 0). Ограничения вида (2.36) обеспечивают на каждом предприятии выбор
только одного из всех возможных на нем вариантов. Левая часть должна пред-
ставлять собой сумму одной единицы и нулей, иначе равенство в (2.36) нару-
шится. Таким образом, на одном предприятии нельзя выбрать как сразу не-
сколько вариантов, так и ни одного. В левой части ограничений (2.34) и (2.35)
каждое предприятие фактически будет представлено не суммарным по всем ва-
риантам использованием ресурсов и выпуском продукции, а лишь теми показа-
32
телями, которые описывают использование ресурсов и
выпуск продукции по
выбранному варианту работы данного предприятия. В силу (2.36) и (2.37):
∑
𝑎
𝑖𝑘𝑟
𝑥
𝑘𝑟
= ∑
𝑎
𝑖𝑘𝑟
0
𝑟≠𝑞
+ 𝑎
𝑖𝑘𝑞
1 = 𝑎
𝑖𝑘𝑞
𝑠𝑘
𝑟=1
(
i
= 1, 2,...,
m
);
∑
𝑎
𝑗𝑘𝑟
𝑥
𝑘𝑟
= ∑
𝑎
𝑗𝑘𝑟
0
𝑟≠𝑞
+ 𝑎
𝑗𝑘𝑞
1 = 𝑎
𝑗𝑘𝑞
𝑠𝑘
𝑟=1
(
j
= 1, 2,...,
n
),
где
q —
индекс того варианта работы
k
-го предприятия, который вошел в
план (не обязательно оптимальный, но допустимый) и для которого
х
kq
= 1
(
r = q
).
Таким образом, все прочие отвергнутые варианты как бы пропадают и не
участвуют как в использовании ресурсов, так и в выпуске продукции. Анало-
гично и
общая прибыль по объединению, фирме будет фактически формиро-
ваться исключительно как сумма прибыли от вошедших в план вариантов.
Условие (2.36) может быть сформулировано и менее жестко, если пред-
положить, что для каждого предприятия (в случае его меньшей выгодности по
сравнению с другими) могут быть отвергнуты все предложенные варианты.
Здесь мы будем иметь случай уже не только отбора того или иного варианта на
предприятии, но и отбора среди самих предприятий, сортировки их на эффек-
тивные, вошедшие в план, и неэффективные, отвергнутые. Для такой ситуации
ограничения вида (2.36) будут модифицированы следующим образом:
∑
𝑥
𝑘𝑟
≤ 1
𝑠𝑘
𝑟=1
, (k = 1, 2,...,r).
(2.38)
Зачастую возникает и промежуточная ситуация, когда для части предпри-
ятий выбор одного из возможных вариантов обязателен. Введем обозначения:
K —
множество индексов предприятий (
k
K
);
K
1 —
множество индексов предприятий, участие которых в плане не обяза-
тельно, т.е. которые могут быть закрыты, перепрофилированы и т.д.
(
K
1
K
);
K
2 —
множество
индексов предприятий, участие которых в плане обяза-
тельно, т.е. не подлежащих закрытию, перепрофилированию и т.п. (
K
2
K
).
С учетом этих обозначений вместо ограничений вида (2.36) в модели ва-
риантной задачи появятся ограничения двух видов:
∑
𝑥
𝑘𝑟
≤ 1
𝑠𝑘
𝑟=1
, (k
𝐾
1
);
(2.39)
∑
𝑥
𝑘𝑟
= 1
𝑠𝑘
𝑟=1
, (k
𝐾
2
).
(2.40)
В ограничениях вида (2.39) допускаются нулевые значения всех
x
kr
, а сле-
довательно, и нулевые значения левой части в целом. Это будет свидетельство-
вать о невыгодности ни одного из вариантов работы данного предприятия, а
следовательно, и о его невыгодности в целом. Выполнение условия (2.38) как
строгого неравенства может свидетельствовать либо о целесообразности закры-
тия, перепрофилирования соответствующего предприятия,
либо о недостаточ-
ном качестве набора вариантов и необходимости нахождения для него более
эффективных вариантов.
Здесь отчетливо проявляется одна из основных проблем, возникающих
при выборе хозяйственных решений. А именно проблема существования и под-
готовки качественной исходной информации для
последующего выбора на ее
основе тех или иных решений.
33
