Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli.

• 
  oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining geometrik ma’nosi bu ildiz yotgan oraliqni ketma-ket teng ikki qismga bo‘lib borishdan iborat;
  
• 
  agar tenglamaning chap toponidagi chiziqli bo‘lmagan funksiya uzluksiz bo‘lsa, u holda oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli izlanayotgan ildizni berilgan aniqlikdagi xatolik topib beradi, chunki bunday holda masalani yechish ja- rayoni funksiyaning xossasidan bog‘liq bo‘lmaydi;
  
• 
  oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining keyingi qadamidagi kesmaning oxirlari- dan biri doimo hisob jarayonidagi kesmaning o‘rtasida, ikkinchisi esa tan- langan nuqtaga nisbatan f(x) funksiya ishorasini almashtirgan kesmaning oxir- ida yotadi;
  
• 
  f(x) = 0 tenglamani yechishni kafolatlash uchun f(x) funksiyaning uzluksiz bo‘lishi yetarli;
  
• 
  f(x) = 0 tenglamaning hech bo‘lmaganda bitta haqiqiy ildizini oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli bilan topish uchun ildizlarni ajratish qoidasidan foyda- lanish zarur, aks holda ildizni faqat oraliqni teng ikkiga bo‘lishlar jarayonida f(x) funksiya bo‘laklangan oraliqning chetlarida ishorasini almashtiradigan holdagina topish mumkin bo‘ladi;
  
• 
  agar ildiz intervalning chegarasida yotgan bo‘lsa ham bu usul uni topish im- konini beradi.
  

Vatarlar usuli.

• 
  bu usul avvaldan yakkalangan ildiznigina topish imkonini beradi;
  
• 
  vatarlar usulining geometrik ma’nosi bu ajratilgan kesmada f(x) chiziqli bo‘lmagan funksiyani shu kesmaning oxirlaridan o‘tuvchi chiziqli funksiya, ya’ni vatar bilan almashtirishdan iborat;
  
• 
  yechimni berilgan xatolik bilan topish uchun, birinchidan, funksiya kesmada (hech bo‘lmaganda ildiz atrofida) monoton bo‘lishi lozim, ikkinchidan, u keskin egrilikka ega bo‘lmasligi zarur;
  
• 
  vatarlar usulida f(x) monoton funksiya uchun kesmaning chetlaridan biri qattiq mahkamlangan hisoblanadi, ikkinchisi esa vatarning Ox abscissa o‘qi bilan kesishishidan topiladi; bu mahkamlangan chegara funksiyaning ishor- asini va uning ikkinchi tartibli hosilasini intervalning chetlarida tahlil qilishda topiladi;
  
• 
  f(x) = 0 tenglamani vatarlar usuli bilan yechish uchun f(x) funksiya uzluksiz va monoton bo‘lishi zarur;
  
• 
  mahkamlangan chegara chiziqli bo‘lmagan tenglama funksiyasining xossasi- dan bog‘liq va u har xil bo‘lishi mumkin.
  

Nyuton usuli.

102

• 
  Nyuton usulining geometrik ma’nosi bu ajratilgan kesmada f(x) chiziqli bo‘lmagan funksiyani shu kesmaning oxirlaridan biriga urinma bo‘lib o‘tuvchi chiziqli funksiya bilan almashtirishdan iborat;
  
• 
  Nyuton usulida х₀ boshlang‘ich yaqinlashishni shunday tanlash lozimki, х₀ nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma ildiz yotgan interval ichida Ox o‘qini kesib o‘tsin; bu jarayon funksiyaning ishorasi va uing ikkinchi tartibli hosilasi yoki tanlash va xatoliklar usuli bilan baholanadi;
  
• 
  o‘ng chegara mahkamlangan bo‘ladi;
  
• 
  f(x) = 0 tenglamani Nyuton usuli bilan yechish uchun f(x) funksiya uzluksiz va monoton bo‘lishi zarur;
  
• 
  agar f(x) funksiya monoton bo‘lmasa, u holda Nyuton usuli klassik holda kafolatlangan natijani bermasligi mumkin.
  

2. 
   Iteratsiyalar usuli.
   

• 
  bu usulda f(x) = 0 tenglama x = (х) ko‘rinishga keltiriladi, bunda (х) funksiya  (х) < 1 shartni qanoatlantirishi lozim;
  
• 
  bu usulda yaqinlashish deb qadamlar soni oshgan sari ildizga ketma-ket ya- qinlashish tushuniladi;
  
• 
  ildizga yaqinlashish bir tomonlama (chapdan yoki o‘ngdan) va ikkala tomon- dan bo‘lishi mumkin, ya’ni ildizga yaqinlashish tebranish jarayoni kabi;
  
• 
  agar tanlangan kesmada ikkita ildiz mavjud bo‘lsa, u holda у = х to‘g‘ri chiziqning у = (х) egri chiziq bilan ikkita kesishish nuqtasi bo‘lishi lozim; ulardan biri bilan yaqinlashish sharti bajariladi, ikkinchisi bilan esa yo‘q (agar у = (х) uzilishlarga ega bo‘lmasa);
  
• 
  iteratsion jarayonning yaqinlashmaslik sababi ildizning mavjud bo‘lmasligi yoki yaqinlashish shartining bajarilmasligi (keyingi holda (х) funksiyaning tuzilishini o‘zgartirish orqali dastlabki, ya’ni f(x) = 0 tenglamani boshqa algo- ritmdan foydalanib, iteratsiyalar uchun qulay ko‘rinishga keltirish);
  
• 
  ildizga “tebranma” yaqinlashishda ildiz joylashgan kesmaning miqdorini nazorat qilish mumkin (u ikkita qo‘shni yaqinlashishlar ayirmaning moduli), bir tomonlama yaqinlashishda esa yaqinlashish shartiga (х) funksiyaning shu intervaldagi hosilasining maksimal qiymatidan bog‘liq ko‘paytuvchi kiradi.
  

Bob bo‘yicha end muhim umumiy xulosalar quyidagilar:

• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish ancha murakkab va bu masala hisoblash matematikasining mukammal yechilmagan muammosi ekan;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning boshlang‘ich muammosi – bu chiziqli bo‘lmagan tenglama yechimlarining mavjudligi, soni va ular yotgan oraliqni topish muammolari o‘rganildi, bular aniq misollarni yechish orqali izohlandi;
  

103

• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ajratilgan ildizini topish muammosi bir nechta taqribiy usullarda bayon qilindi, aniq misollar yechimlari bilan izohlandi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ildizlarini topishning taqribiy usullari sod- dadan murakkabga va ularning xususiy hollari bilan o‘rganildiki, bu shu mavzuni batafsilroq yoritish imkonini berdi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni matematik paketlar yordamida yechishning muammolari o‘rganildi, uni amalga oshirishning bosqichlari ishlab chiqildi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglama funksiyasining grafigini matematik paketlar yordamida chizish orqali tenglama haqiqiy yechimlari mavjudligi, ularning soni, bu yechimlar yotgan oraliqlarni topish muammolari o‘rganildi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarning analitik yechimini matematik paketlar yordamida yechish o‘rganildi, hisob algoritmiga oid tushunchalar bilan tan- ishildi, amaliy masalalar yechildi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni matematik paketlar yordamida sonli yechishning algoritmi, dasturi, matematik paketlardan foydalanish bosqichlari bajarildi, har xil amaliy masalalar yechildi;
  
• 
  qo‘yilgan masalani matematik paketlar yordamida samarali yechishga oid tavsiyalar ishlab chiqildi, undan foydalanishning mumkin bo‘lgan imkoni- yatlari ketma-ket tahlil qilindi;
  
• 
  sonli yechimlar analitik yechimlar bilan taqqoslandi, hisob jarayonining to‘g‘ri ekanligi, algoritm va dasturlardan samarali foydalanish mumkinligi ko‘rsatildi;
  
• 
  ishlab chiqilgan hisob metodikasi va yaratilgan hisob dasturlatidan har xil chiziqli bo‘lmagan tenglamalarga oid amaliy masalalarini yechishda samarali foydalanish mumkin;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan Nyuton usuli juda samarali ekan, ammo uning qo‘llanilish sohasi juda tor;
  
• 
  iteratsiyalar usuli ham juda qulay, ammo yaqinlashuvchi funksiyani topish ko‘p hollarda mushkulroq;
  
• 
  oraliqni ikkiga bo‘lish usuli juda qulay, ammo uning yaqinlashish tezligi juda sust va karrali ildizlar uchun muammoli;
  
• 
  iteratsion usullarning takomillashtirilgan har xil variantlari juda samarali, ammo bu boshlang‘ich yaqinlashishni yakkalashtirilgan ildizga juda yaqin olinganda va yaqinlashish shartlari bajarilgandagini bu usullarning yaqin- lashsh tezligi keskin oshadi;
  

Shunday qilib, chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish muammosi qo‘yilgan amaliy masala turiga qarab to‘g‘ri taqribiy usulni va boshlang‘ich shartni tanlash, bu usullardan va matematik paketlardan samarali foydalanishdan iborat ekan.

104

Mashqlar

1. 
   Quyidagi tenglamalarning haqiqiy ildizlari chegaralarini toping.
   

^a) x⁴  35x³  380x² 1350x 1000  0^{. b)} x⁵  4x⁴  x³  3x²  2x  0^.