Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Algebraik ko‘phad ildizlarini topishning Lobachevskiy usuli. Bu usulning eng qulay tomoni shundaki, u ildizlarning taqribiy yaqinlashishi qiymatini talab qilmaydi. Bu usul ko‘phad har xil haqiqiy ildizlarga ega bo‘lgan holda qo‘llaniladi. U

ikki bosqichda qo‘llaniladi. Agar ko‘phadning ildizlari ushbu
x₁ 
^x21
 ...  x_n

98

tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda a₀xⁿ+a₁ x^n-1 + . . . + a_n-1x+a_n ko‘phad ildizlarin- ing taqribiy qiymatlari uning koeffisiyentlari orqali Viyetning quyidagi umumlashgan teoremasi formulalari bilan ifodalanadi:
x₁+ x₂+…+ x_n= -a₁/a₀ ,
x₁x₂+ x₁x₃+…+ x_n-1x_n= a₂/a₀ ,
x₁x₂x₃+ x₂x₃x₄+…+ x_n-2x_n-1x_n= -a₃/a₀ ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
x₁x₂ … x_n = (-1)ⁿ a_n/a₀.
Bu yerda ketma-ket quyidagilarni topamiz:
^ x₂ x₃ x_n ^ a₁ a₁

x_{1 }1  _x

  ... 

x x

_   _a
 x₁   _a ;

 1 1
^ x₂ x₃

1  0 0

^xn1 ^xn ^{ a}2 ^a2

x₁ x_{2 }1 

x₁ x₂
 ... 
_ 

a
^x1 ^x2  0
 x₂
  ; ... _;

a
0

x_i  
a_{i ,}
^ai1
x_i ,
i  1,2,...n.

Ko‘phad kompleks ildizlarini izlashning sonli usullari. Argument x ning fa- qat butun darajalari yig‘indisini o‘z ichiga olgan chiziqli bo‘lmagan tenglama chiziqli bo‘lmagan algebraik tenglama deb ataladi va u
P_n(x) = xⁿ+a_n-1 x^n-1 + . . . + a₁x+a₀ = 0 (2.11) kabi yoziladi. Chiziqli bo‘lmagan algebraik tenglamaning yechimi ko‘phadning ildizi deb ham ataladi. Bu n-darajali ko‘phadning ildizlarini izlashda ularning soni n ta ekanligini (ularning karralilarini ham hisobga olganda) va ular ham haqiqiy va ham kompleks bo‘lishi mumkinligini e’tiborga olish lozim. Agar ko‘phadning a_i koeffisiyentlari haqiqiy desak, u holda kompleks ildizlar kompleks-qo‘shma juftlikni hosil qiladi. Ildizlar soni haqidagi ma’lumot muhim ahamiyatga ega.
Yuqorida chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning umumiy algoritmlaridan ko‘phadlar ildizlarini topishga ham foydalanish mumkin. Bunda faqat algoritmlarning amaliy tadbiqini kompleks sonlar arifmetikasi doirasida o‘tkazish lozim bo‘ladi. Shunga qaramasdan, ko‘phadlarning hamma ildizlarini (haqiqiy va kompleks ildizla- rini) izlashning maxsus usullari mavjud. Ana shu usullardan ba’zilari bilan quyida tanishaylik.
Ko‘pgina usullar dastlabki ko‘phaddan kvadratik ko‘pytuvchini chiqarish prosedurasiga asoslangan, ya’ni
P_n(x) = (x²+px+q)(x^n-2+b_n-3 x^n-3 + . . . + b₁x+b₀). (2.12) Bizga ma’lumki, x²+px+q =0 kvadrat ko‘phadning ildizlarini analitik yo‘l bilan topish mumkin, demak dastlabki (2.11) tenglama tartibi ikkiga kamayadi va masala
ushu
x^n-2+b_n-3 x^n-3 + . . . + b₁x+b₀ = 0

99

tenglamani yechishga keladi. Bu tenglamaning o‘ng tarafidan yana bir bor kvadratik ko‘pytuvchini chiqarish mumkin, va hokazo. Ana shunday qilib ko‘paytuvchilarni chiqarish jarayoni ushbu x²+ b₁x+b₀ = 0 kvadratik yoki x+b₀ = 0 chiziqli tenglama qolguncha davom ettiriladi.
Kvadrat ko‘paytuvchilarni ajratish, ya’ni n ta p, q, b_n-1, b_n-2, ..., b₁, b₀
koeffisiyentlarni izlash haqidagi bu masalasi quyidagicha yechiladi.
Dastlabki P_n(x) ko‘phadning ikki xil (2.11) va (2.12) shakllaridagi bir xil darajali hadlari koeffisiyentlarini o‘zaro tenglashtirib, quyidagi ikkita tengliklar sistemasini hosil qilamiz:
b_n-3 + p = a_n-1,
b_n-4 + pb_n-3 + q = a_n-2,
b_n-5 + pb_n-4 + qb_n-3 = a_n-3, (2.13)
………………………..
b₁ + pb₂ + qb₃ = a₃, b₀ + pb₁ + qb₂ = a₂
va
q = a₀/b₀ , p = (a₁-qb₁)/b₀ . (2.14) Agar p va q koeffisiyentlarga ixtiyoriy qiymatlar berilsa, u holda (2.13)
sistemadan noma’lum b_n-1, b_n-2, ..., b₂ keffisiyentlarni ketma-ket yo‘qotib, b₁ va b₀ larning qiymatlarini hisoblab olish mumkin, ya’ni (2.13) sistema quyidagi ikki argumentli ikki funksiyani topish imkonini beradi:
b₀ = b₀(p,q) va b₁ = b₁(p,q). (2.15) Endi (2.15) funksiyalardan (2.14) tengliklarning o‘ng taraflarida foydalanish mumkin, natijada qiyidagi ikkita chiziqli bo‘lmagan tenglamalar sistemasiga kelinadi: