Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Teorema. Faraz qilaylik, (x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan, uzluksiz va uning barcha qiymatlari uchun (x)[a,b]. Agar x (a,b) lar uchun shunday q to‘g‘ri kasr mavjud bo‘lsaki, bunda ushbu
 (x)  q < 1
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda:

1. 
   boshlang‘ich x₀[a,b] ni qanday tanlashdan qat’iy nazar ushbu (2.3) iteratsion jarayon yaqinlashuvchi bo‘ladi;
   

89

2. 
   ushbu
   

  lim x_n
n
limitik qiymat x=(x) tenglamaning [a,b] kesmadagi

yagona ildizi bo‘ladi. Ildizning yagonligi haqida quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

a)

b)

2.36-rasm. Uzoqlashuvchi iteratsion jarayonning grafik tasviri:
a) (x)< –1; b) (x)>1.


Teorema. Agar biror S = { x :x – x₀   } nuqtalar to‘plamida (x) funksiya ushbu (x) – ( x)< qx – x, x, x  S, q < 1, Lipshits shartini va x₀ –
(x₀) (1 – q) shartni qanoatlantirsa, u holda x = (x) tenglama S kesmada yagona
 ildizga ega bo‘ladi.
Iteratsion jarayonning yaqinlashish tezligi ushbu
x_n –   m qⁿ / (1 – q) tengsizlikdan aniqlanadi, bunda m = x₀ – (x₀).
Agar (x) funksiya S kesmada uzluksiz  (x) hosilaga ega bo‘lsa, u hoda
Lipshits shartini sodda qilib  (x)  q < 1 kabi yozish mumkin.
Bular oddiy iteratsiya usuli maxraji q ga teng bo‘lgan geometrik progressiya tezligi bilan yaqinlashadi degani.
Shuni ta’kidlaymizki, (x) funksiyani tanlashda juda ehtiyotkorlik talab qilinadi. Masalan, f(x) = x² – c tenglamani x = x² – c + x yoki x = c/x yoki x = 0,5(x+c/x) ko‘rinishga keltirish mumkin. Shulardan (x) = x²–c+x ko‘rinishni tanlasak, –1<x<0

oraliqdagina
^(x)  1
shart bajariladi va iteratsion jarayon –
ildizga

yaqinlashadi. Agar (x) = c/x desak, u holda  (x)= –c/x² va iteratsion jarayon uzoqlashuvchi bo‘lib chiqadi.
Oddiy iteratsiyalar usulining blok-sxemasi 2.37-rasmda tasvirlangan.

Namunaviy mashqlar va ularning yechimlari

1. 
   misol. Ushbu a) f(x)=x³–x–1=0; b) f(x)=x³–x+1=0 tenglamaning ildizini oddiy iteratsiyalar usuli yordamida =0,01 aniqlik bilan toping.
   

90

Yechish. a) Ushbu f(x)=x³–x–1=0 tenglama [1;2] kesmada yagona ildizga ega, chunki f(1) = –1 < 0 va f(2) = 5 > 0. Agar berilgan tenglamani x=x³–1 ko‘rinishda yozib olsak, (x)=x³–1 va (x)=3x². Bunda x[1;2] lar uchun (x)3, demak ite-

ratsion jarayon uzoqlashuvchi. Agar berilgan tenglamani
x  ³
x  1
deb

o‘zgartirsak, u holda (x)= ³
x  1
va ^{(x)  1/(33 (x  1)2 )} . Bunda

0  ^(x)  1/(3³ 4)  1/ 4 tengsizlik barcha x[1;2] lar uchun o‘rinli, demak

iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra
^xn1 ^
iteratsion formuladan

foydalanib ildizni topamiz. Topilgan qiymatlar: 1,0; 1,260; 1,312; 1,322; 1,3243 ekanligidan izlangan yechim =0,01 aniqlik bilan =1,324 ga tengligi kelib chiqadi.

Xususan, f (x)=3x²–1;
Q  max
[1,2]
^{f (x)  11} ; kQ/2  6; (x) = x–f(x)/k = x–(x³–x–1)/6;

x_n1  (x_n )
munosabatlarga ko‘ra 1,0; 1,1667; 1,2631; 1,3044; 1,3186; 1,3229;

1,3242 natijalarni olamiz. Demak, =1,324 berilgan tenglamaning taqribiy ildizi.

2.37-rasm. Oddiy iteratsiyalar usulining blok-sxemasi.

b) Ushbu f(x)=x³–x+1=0 tenglama [-2;-1] kesmada yagona ildizga ega. Agar

berilgan tenglamani
x  ³
x 1
deb o‘zgartirsak, u holda (x)= ^{3
x 1} va

^{(x)  1/(33 (x  1)2 )} . Bunda
0  ^(x)  1/(3³ 4)  1/ 4
tengsizlik barcha x[-2;-1]

lar uchun o‘rinli, demak iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra

^xn1 ^
iteratsion formuladan foydalanib ildizni topamiz. Topilgan qiymatlar: -

1,000; -1,2599; -1,3123; -1,3223; -1,3243; -1,3246 ekanligidan izlangan yechim
91

=0,001 aniqlik bilan =-1,3246 ga tengligi kelib chiqadi. Xususan, f (x)=3x²–1;

Q  max
[2,1]
^{f (x)  11} ; kQ/2  6; (x) = x–f(x)/k = x–(x³–x+1)/6;
x_n1  (x_n )
muno-

sabatlarga ko‘ra -1,0; -1,1667; -1,2631; -1,3044; -1,3186; -1,3229; -,3242 natijalarni olamiz. Demak, =-1,324 berilgan tenglamaning taqribiy ildizi.

2. 
   misol. Ushbu
   

cos x  (1/ x) sin x  0
tenglamaning eng kichik musbat ildizini

oddiy iteratsiyalar usuli bilan beshta ishonchi raqam bilan aniqlang.

Yechish. Berilgan tenglamani

24. 
     tgx
    

ko‘rinishda yozib olaylik. y=x va y=tgx

funksiyalarning grafiklarini chizib, dastlabki yaqinlashishni x₀ = 1,5  4,7 deb olishimiz mumkin, ammo bu hol uchun (x) = (tgx) = 1/cos²x  1 ekanligidan tanlangan iteratsion jarayonning uzoqlashuvchanligi kelib chiqadi. Shuning uchun bunda x = arctgx deb olish maqsadga muvofiq, chunki x ≠ 0 da (x) = (arctgx)=
=1/(1+x²)<1. Demak x_n+1 = arctgx_n formuladan x₀  4,7 uchun x  4,4934 yechimga kelamiz.

3. 
   misol. Ushbu sinx – 2x + 0,5 = 0 tenglamaning [0;/2] kesmadagi ildizini oddiy iteratsiya usuli yordamida =0,001 aniqlik bilan toping.
   

Yechish. Berilgan tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x = 0,25 + 0,5sinx =
(x) tenglamaga almashtirib olamiz. Buning uchun x[0;/2] qiymatlarda
(x)=0,5cosx va (x)0,5<1 o‘rinli. Demak x_n = 0,25 + 0,5sinx_n iteratsion jarayon x₀ = 0,5 boshlang‘ich qiymat uchun ketma-ket 0,4897; 0,4852; 0,4832;
0,4823; 0,4819; 0,48175; 0,48165; 0,4816 qiymatlarni beradi. Bu yerdan berilgan tenglamaning talab qilingan aniqlikdagi yechimi x  0,4816 degan xulosaga kelamiz.

4. 
   misol. Ushbu f(x) = x – cos(x) = 0, tenglamani x₀ = 1 boshlang‘ich yaqinla- shishda oddiy iteratsiyalar usuli yordamida =10^-10 aniqlik bilan Maple dasturi paketidan foydalanib yeching (kesuvchilar usuli mavzusidagi 2-misolga qarang).
   

Yechish. Misolni Maple dasturi paketidan foydalanib yechish (2.38-rasm): # Dastur paketini ishga tushirish, funksiyaning berlishi va yechimni topish with(Student[NumericalAnalysis]): f:= x–cos(x); fsolve(f);
0.7390851332
# Dastur paketidan foydalanib yechimni topish
FixedPointIteration(f, x=1, tolerance=10⁻¹⁰);
0.7390851332
# Iteratsiyalar natijalarini chop qilish
FixedPointIteration(f, x=0.739, tolerance=10⁻⁵,output=sequence, maxiterations=20); 0.739, 0.7391424773, 0.7390465043, 0.7391111536, 0.7390676053, 0.7390969401,
0.7390771799, 0.7390904906, 0.7390815244, 0.7390875642
# Natijalarni grafikda ifodalash
FixedPointIteration(f, x = 1, tolerance =10⁻⁵, output = plot, stoppingcriterion = func- tion_value, maxiterations=20);

92

# Natijalarni grafikda ifodalashning animatsiyasi
FixedPointIteration(f, x = 1, tolerance =10⁻⁵, output = animation, stoppingcriterion
= absolyute, maxiterations=20);
2.38-rasm. Tenglamaning haqiqiy ildizini oddiy iteratsiyalar usuli bilan topish.

Mashqlar

Quyida berilgan tenglamalarni oddiy iteratsiyalar usuli bilan yeching (bunda a, b, c,  parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qiling):

1. 
   ax³  b  c
   

^{ 0} ; a = 1.11; b = –10.11; c = –2.02;  = 710^-5.

2. ^{ax  bxsin x  0} ; a = 2.01; b = –1;  = 10^-5.
3. ^{a cos(x  b)  cx3  0} ; a = 2.13; b = 3.62; c = –4.12;  = 210^-4.
4. ^{ln(x  a)  (x  b)5  0} , a = 2.11; b = 4.03;  = 310^-5.
5. ^{ax2 cosbx  cx  0} ; a = 2.93; b = 3.01; c = 2.1;  = 710^-5.
6. ^{a / x  becx  0} ; a = 2.37; b = –0.99; c = 0.56;  = 510^-4.
Izoh: Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring.

Teskari funksiyaga o‘tish bilan ketma-ket yaqinlashish usuli.

Yuqorida ko‘rsatildiki, ketma-ket yaqinlashishning ushbu x_n+1 =  (x_n), n = 0,1, 2, ... formulasi Lipshits shartini bajaruvchi  (x) funksiyani tanlashni talab qiladi. Buni quyidagicha umumlashtirish mumkin.
93

Agar x = (x) tenglama uchun izlanayotgan ildiz atrofida
^(x)  1
shart

bajarilsa va yaqinlashish sharti bajarilmasa, u holda bu tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan ushbu x = (x) tenglamaga almashtirish lozim bo‘ladi, bunda (x) funksiya
(x) funksiyaning teskarisi, x funksiya esa o‘ziga o‘zi teskari. U holda (x) = 1/( (x)) ekanligidan ushbu (x) = 1/(x)1/M<1 tengsizlik kelib chiqadi va bu yangi iteratsion jarayonning yaqinlashuvchanligini ta’minlaydi.