Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Yechish. Bu yerda
_f(x)= (x  1) ln(x)  1_;


f ^(x)  ln(x)  ^{x 1} _;
x


f ^ (x)  ¹  ¹ _.
^x x ²

Kesmaning b = 3 chetki nuqtasida funksiyaning qiymati musbat f(3)>0 va kesmada

esa ikkinchi tartibli hosila ham musbat
f ^ (x)  0 _,ya’ni
^{f (b)  f  (x)  0} . Shunday

qilib, ushbu misolda berilgan tenglamaning izolyatsiyalangan ildizini vatarlar usuli bilan topish uchun ushbu

x  x

• 
  f (x_n )(b  x_n )
  

n1
ⁿ f (b)  f (x )
n

formuladan foydalanish tavsiya etiladi.

2. 
   misol. Ushbu f(x) = x³ – 0.2x² – 0.2x – 1.2 = 0 tenglamaning [1;1,5] kesmadagi
   

^x ildizini 0,002 aniqlik bilan hisoblang.
74

Yechish. Berilgan tenglama [1;1,5] kesmada yagona ^x ildizga ega (buni Maple matematik paketida yoki MS Excel dasturida mustaqil tekshirib ko‘ring).
Usulning formulasiga ko‘ra
f '(x) = 3x² – 0.4x – 0.2 ; f ''(x) = 6x – 0.4 ;
f(1) = –0.6 < 0 ; f(1.5) = 1.425 > 0,
demak x[1;1,5] da 2.4  f '(x)  5.95 ; 5.6  f ''(x)  8.6 .
Bu yerdan ko‘rinadiki, x[1;1,5] da f '(x) f ''(x) > 0. Shuning uchun

x =a , ^x
 x 
f (x_n )
(b  x )

(n=0,1,2,…)

0 ^{n 1
n} f (b) 
f (x_n )

formuladan foydalanib (bunda x₀ = a = 1, b = 1,5), ketma-ket quyidagilarni topamiz:

_{x } 0.6(1.5 1) _{ 1  1.15;}
¹ 1.425  0.6
f (x₁ )  0.173;

x  1.15  0.173
1.5 1.15
 1.19;
f (x
)  0.036;

2
x₃  1.19  0.036
1.425  0.173
1.5 1.19

1.425  0.036

 1.198;

2
f (x₃

)  0.0172;

x  1.198  0.0172
1.5 1.198
 1.199;
f (x
)  0.0061;

⁴ 1.425  0.0172 ³

Bu yerdan ko‘rinadiki,
x₄  x₃
 1.199 1.198  0.002
ekanligidan taqribiy ildiz

sifatida
^{x  x4  1.199} ni qabul qilishimiz mumkin (aniq ildiz ^x =1.2).

Endi shu misolni Maple dasturining paketidan foydalanib yechamiz (2.19-rasm):
>with(Student[NumericalAnalysis]):
>f:= x³ – 0.2x² – 0.2x – 1.2;
>fsolve(f);
1.200000000
>FalsePosition(f,x=[1,1.5],tolerance=10^-2);
1.200000000

• 
  
  
  
  FalsePosition(f,x=[1,1.5],tolerance=10^-2, outpout=sequence);
  
• 
  FalsePosition(f,x=[1,1.5],tolerance=10^-2, stoppingcriterion=absolute);
  

1.200000000

• 
  FalsePosition(f,x=[0,2], outpout=animation, tolerance=10^-2, stoppingcriterion=function_value);
  

75

2.19-rasm. Vatarlar usuli jarayonining grafigi va animatsiyasi.

Mashqlar

Quyida berilgan tenglamalarni vatarlar usuli bilan yeching (bunda a, b, c,  parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qilishing‘iz mumkin):

1. 
   ax³  b  c
   

^{ 0} , a = 1.11; b = –10.11; c = –2.02;  = 710^-5.

2. ^{ax  bxsin x  0} , a = 2.01; b = –1;  = 10^-5.
3. ^{a cos(x  b)  cx3  0} , a = 2.13; b = 3.62; c = –4.12;  = 210^-4.
4. ^{ln(x  a)  (x  b)5  0} , a = 2.11; b = 4.03;  = 310^-5.
5. ^{ax2 cosbx  cx  0} , a = 2.93; b = 3.01; c = 2.1;  = 710^-5.
6. ^{a / x  becx  0} , a = 2.37; b = –0.99; c = 0.56;  = 510^-4.
Izoh: Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica va boshqa) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring.

Nyuton usuli (urinmalar usuli yoki chiziqlilashtirish usuli).

Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning eng samarali usuli bu Nyuton usulidir. Bu usulning g‘oyasi asosida tadqiq qilinayotgan f(x) funksiyani undanda soddaroq bo‘lgan funksiyaga, ya’ni uni urinmaga almashtirishdan iborat.
Geometrik nuqtai nazardan, dastlab x₀ nuqta orqali f(x) funksiyaning egri chiziqli grafigiga urinma o‘tkaziladi va uning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasining absissasi topiladi (2.21-rasm).
f(x) funksiyaning egri chiziqli grafigiga M₀(x₀, f(x₀)) nuqtasi orqali o‘tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:

y  f (x₀ ) 
f '(x₀ )(x  x₀ ) _.
76

Keyingi x₁ yaqinlashish urinmaning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasi bo‘lib, bu nuqta ushbu

x  x
_ f (x₀ )

0
^{1 0} f ^(x )
formuladan topiladi. Bu jarayonni M₁, …, M_n-1 nuqtalar uchun xuddi shunday davom

ettirib va
^{f '(x}_n ^{)  0} ekanligini e’tiborga olib, ushbu

x  x

• 
  f (x_n ) _,
  

n

n1
ⁿ f ^(x )

formulaga kelamiz, bunda [a,b] kesmada x₀=a, agar
f (a)  f ^ (x)  0
bo‘lsa va x₀=b

agar
f (b)  f ^(x)  0
bo‘lsa.

Shakli o‘zgartirilgan formula:
x

 x 

f (x_n ) _.

0

n1
ⁿ f ^(x )

Bu formuladan foydalanilganda yaqinlashish tezligi bir oz sustlashadi.
Urinmalar usuli shartli yaqinlashuvchi usul bo‘lib, uning yaqinlashishi

n
lim x  x
n

uchun ( ^x- ildizning izlanayotgan qiymat) ildiz izlanayotgan sohada quyidagi shart ba- jarilishi zarur: ^f^(^xn^)^^f^''(^xn^)^^(^f^'(^xn^)). 2 Ixtiyoriy boshlang‘ich (nolinchi) yaqin- lashishda iteratsiya yaqinlashuvchi bo‘ladi, agar yuqoridagi shart bajarilsa. Aks holda yaqinlashish ildizning biror atrofidagina bajariladi. Iteratsion jarayonning yaqinlanishi uchun quyidagi uchta kriteriyadan foyda- lanish mumkin:

2.21-rasm. Nyuton usulining geometrik talqini.

1. 
   Iteratsiyalarning maksimal soni. Bu kriteriyadan usul yaqinlashmagan holda foydalanish lozim. Shunga qaramasdan talab qilingan aniqlikni qanoatlantiruvchi it- eratsiyalar sonini oldindan aniqlash juda qiyin.
   
2. 
   Ildizga yaqinlashishning kuchsiz variatsiyasi
   

x_n1  x_n  
yoki
^xn1 ^{ x}n
  x_{n .}

3. 
   Funksiyaning yetarlicha kichik qiymati
   

f (x_n )   _.

i1
Nyuton usuli ikkinchi tartibli yaqinlashish tezligiga ega. Bu shuni bildiradiki, ild-

iz yaqinida xatolik quyidagi qonun bo‘yicha kamayib boradi: ^_i
 const ² _.

77

Shuning uchun Nyuton usulining iteratsiyalari juda tez yaqinlashadi, chunki yuqoridagi 2-shartning bajarilishi uchun bir nechta iteratsiyaning o‘zi yetarli. Agar dasturda i > 10 da ham 2-yaqinlashish sharti bajarilishi kuzatilmasa, demak yoki for- mulada yoki dasturda xatolik bor degan xulosaga kelish kerak.
Shunday qilib, usulning ustunliklari: yaqinlashish tezligi boshqa usullarga qara- ganda ancha tez, bu boshlang‘ich yaqinlashishni ildizga yaqinroq tanlaganda yanada yaqqol seziladi; usulning kamchiliklari: boshlang‘ich yaqinlashishni tanlash og‘ir; har bir iteratsiya qadamida hisoblashlar boshqa usullardagiga qaraganda ko‘p, chunki bunda nafaqat funksiyaning qiymatini, balki uning hosilasini ham hisoblab borish lo- zim; ba’zida aralash usulni qo‘llash afzal, ya’ni bu usulni qo‘llashdan oldin avval boshqa usulni, masalan, dastlabki bir necha iteratsiya qadamida oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulini qo‘llab, keyingi yaqinlashishlarni Nyuton usulida bajarish juda yaxshi natija beradi; agar f(x) funksiya grafigi [a,b] kesmada yetarlicha yotiq bo‘lsa, u holda f '(x)0 va hisoblashlarda xatolik tez ko‘payadi, bunday holda keyingi hisoblashlarda oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga o‘tgan ma’qul; agar [a,b] kesmada umuman ildiz yo‘q yoki ular soni bir nechta bo‘lsa, u holda bu usul iteratsiyalarining takrorlanishlari soni cheksizlikka intiladi (2.22-rasm).

Usulning algoritmi: [a,b] kesmani va  aniqlikni berish. Agar f(a) va f(b) lar bir xil ishorali yoki f'(a) va f'(b) lar har xil ishorali bo‘lsa, ildizni topish mumkin emasligini bildirish. Boshlang‘ich yaqinlashishni tanlash: x0=a, agar f (a)  f ^(x)  0 bo‘lsa; x0=b agar f (b)  f ^(x)  0 bo‘lsa. Navbatdagi yaqinlashishni quyidagi for- mula bo‘yicha hisoblash.

2.22-rasm. Nyuton usulining uzoqlashishi.

x  x

• 
  f (x_n )
  

yoki ^x
 x 
f (x_n )
.

0

n
n1
ⁿ f ^(x )
n1
ⁿ f ^(x )

5. 
   Aniqlikni baholash:
   

^xn1 ^{ x}n
  _.

5. 
   Agar bu shart bajarilsa, ildiz deb ^x =x_n+1 ni qabul qilish, aks holda 4-qadamga o‘tish.
   

Nyuton usulining blok sxemasi 2.23-rasmda tasvirlangan.
Dasturda cheksiz takrorlanishlar kuzatilmasligi uchun funksiya grafigining qovariq yoki botiqligini (2.24-rasm) va iteratsiyalar sonini nazorat qilish maqsadga muvofiq.

1. 
   misol. Ushbu e^x – 3x = 0 tenglamaning eng kichik musbat ildizini  = 10^-4 aniqlik bilan toping.
   

78