Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan 5x–8(lnx+1)=0 tenglamaning musbat ildizlarini topish talab etiladi.
Yechish. Bu tenglamani 5x/8–1 = lnx ko‘rinishga keltirib, y = 5x/8–1 va y = lnx funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalari taxminan ₁  0,45 va ₂  3,7 ekanligini aniqlaymiz. Bu ildizlardan ikkinchisini ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida yanada aniqroq topaylik: x = 1.6(1+lnx) = (x), bu ildiz atrofida (x) = 1.6/x  1, u holda jarayon yaqinlashadi (agar boshlang‘ich x₀ qiymat ₂ ga yaqinroq olingan bo‘lsa). Ammo ₁ atrofida (x) = 3,5 > 1 va iteratsion jarayon uzoqlashadi. Ana shu holatda berilgan tenglamaga teng kuchli bo‘lgan tenglamani beruvchi x = exp(0.625x–1) = (x) teskari funksiyaga o‘tamiz. Bu yerda (x) = 0.625×
×exp(0.625x–1)  0.3 < 1 va jarayon yaqinlashadi.

Steffensen (Eytken-Steffensen) usuli.

Urinmalar usulining yaqinlashish tezligini oshirish uchun uning ifodadagi

f ^(x_n )
hosilaning approksimatsiyasi o‘rniga quyidagi ifodadan foydalalanish lozim:

n
f ^(x ) 
f (x_n1 ) 
^{f (xn )} . (2.4)

^xn1

• 
  x_n
  

Agar kesuvchilar usulidagi hosila ifodasini chap ayirmali approksimatsiya de- sak, u holda (2.4) ni o‘ng ayirmali approksimatsiya deb olish mumkin.
(2.4) dan ko‘rinadiki, unda hali aniqlanmagan x_n+1 noma’lum had qatnashmoqda uni hisoblash uchin oddiy iteratsiyalar ifodasidan foydalanamiz:
x_n1  g(x_n )  x_n  f (x_n ) .
Natijada biz quyidagi approksimatsiyaga ega bo‘lamiz:

f ^(x ) 
f (x_n 
f (x_n )) 
f (x_n ) _.

n
ⁿ f (x )
Bu ifodadan Nyuton usulida foydalanish bilan yangi iteratsion algoritmga ega bo‘lamiz:

x  x 
f (x_n )
f (x
) . (2.5)

n
n1 n _{f (x }
f (x_n )) 
f (x_n )

n
Bu iteratsion algoritm sonli usullarda Steffensen usuli deb ataladi.
Steffensen usuli kvadratik yaqinlashishga ega, ammo bu yerda qo‘shimcha

ravishda
f (x_n 
f (x_n ))
ifodaning qiymatini hisoblash hisobiga yuqori yaqinlashish
94

tezligiga erishiladi. Bu usul har bir iteratsiyada funksiyaning qiymatini ikki marta hisoblashni talab qiladi, bu jihatdan Steffensen usuli kesuvchilar usuliga qarahanda kamroq samara beradi.
Yuqoridagi (2.5) iteratsion algoritmni Eytken tomonidan taklif etilgan chiziqli yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning yaqinlashishini tezlashtirish uslubidan ham olish mumkin.
Buning uchun quyidagi ketma-ketlikni qaraylik:
z_n = z + Cqⁿ. (2.6)
Bu ketma-ketlik q<1 da z limitga yaqinlashadi. Uncha qiyin bo‘lmagan akslantirishlar yordamida z limitik qiymatni {z_n} ketma-ketlikning uchta z_n-1 , z_n va z_n+1 ketma-ket elementlari orqali ifodalash mumkin. Buning uchun bizga ko‘rinib

turgan
z_n  z
_{ q} va
z_n1  z _{ q}


^{ikkita tenglikdan ushbu} (z

• 
  z)(z
  

 z)  (z
 z)²

z_n1  z
z_n  z
n1
n1 n

tenglikka kelinadi. Bu yerdan esa o‘z navbatida z ning quyidagi ifodasi kelib chiqadi:
^zn1^zn1 ^{ z}2


z  ⁿ _.
^zn1 ^{ 2z}n ^{ z}n1
Bu natijaga asoslanib, {z_n} ketma-ketlikni boshqa ketma-ketlikka almashtirishning quyidagi Eytken taklifini qaraylik:

^n1 ^
zn1^zn1 ^{ z}2

n
^zn1 ^{ 2z}n ^{ z}n1

. (2.7)

Agar bu almashtirishni (2.6) ko‘rinishidagi ixtiyoriy ketma-ketlikka qo‘llasak, u

holda n ning ixtiyoriy qiymatida
_n  z  lim z_n
n
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Agar {x_n}

ketma-ketlikning yaqinlashish turi (2.6) nikiga yaqin bo‘lsa, u holda (2.7) almashtirish (n ning ixtiyoriy qiymatida uning limitini bermasada) z ga dastlabkisiga nisbatan tezroq yaqinlashuvchi yanqi ketma-ketlikni beradi.

1. 
   misol. Ushbu
   

x³–x²–8x+12=0
tenglamaning ikki karrali x_r = 2 ildiziga taqribiy yaqinlashishni Nyuton usuli va unga Eytken tezlatgichini qo‘llash bilan bajaring.
Yechish. Hisoblashlar natijalari mos ketma-ketliklar elementlari bilan quyidagi jadvalda keltirilgan (uchinchi va to‘rtinchi ustunlarga qarang).

n	xn	 xn - xr/ xn-1 - xr 	n	 n - xr/ n-1 - xr 
0	0,5	-	-	-
1	1,454545	0,363636	-	-
2	1,745059	0,467381	1,872159	-
3	1,876049	0,486197	1,983607	0,128232
4	1,938822	0,493563	1,996588	1,208141
5	1,969602	0,496884	1,999213	1,230676

95

6	1,984847	0,498466	1,999811	0,240656
7	1,992425	0,499239	1,999954	0,245400
8	1,996221	0,499621	1,999988	0,247717
9	1,998111	0,499811	1,999997	0,248863
10	1,999056	0,499905	1,999999	0,249432
11	1,999528	0,499953	2,000000	0,249717
12	1,999764	0,499976	2,000000	0,249856
13	1,999882	0,499988	2,000000	0,249948
14	1,999941	0,499994	2,000000	0,250448

Bu jadvalning uchinchi ustunida yaqinlashish tezligi  = 1 deb faraz qilinib, (2.6) tenglikdagi C o‘zgarmasning har bir iteratsiyadagi qiymatlari keltirilgan. Jadvaldagi natijalardan ko‘rinadiki, C o‘zgarmas iteratsion jarayonda juda kam o‘zgarib boradi va u C=0,5 qiymatga juda ham yaqin. Natijada Nyuton usulining karrali ildizga yaqinlashish tezligi chiziqli ekanligi haqidagi faraz isbotlanadi.

Chiziqli yaqinlashuvchi {x_n} ketma-ketlikni (2.7) tezlashtirivchi formulaga qo‘llab, jadvalning to‘rtinchi ustunidagi _n larning qiymatlariga erishamiz. Jadvalning ikkinchi va tortinchi ustunlaridagi qiymatlarni taqqoslash bilan yaqinlashish tezligiga erishganligimizga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatan ham, Nyuton usulining o‘n to‘rtinchi iteratsiyasida erishiladigan natijaga Nyuton usuli va Eytken tezlatgichini qo‘llab, uning yettinchi iteratsiyasida shu najijaga kelish mumkinligini ko‘rish mumkin. Bu jadvalning beshinchi ustunidagi natijalar yaqinlashish tezligi ko‘rsatgichi  ning oshishi hisobiga emas, balki C o‘zgarmasni 0,25 gacha kamaytirish hisobiga bunday samarali natijaga erishilganligini ko‘rsatadi.
Endi oddiy iteratsiyalar usulida ildizga taqribiy yaqinlashishning tezligini

oshirishni tahlil qilaylik. Buning uchun avvalo o‘ng tarafini Teylor qatoriga yoyaylik, ya’ni
x_n1  g(x_n )
iteratsion formulaning

Bunga ko‘ra

g(x_n )  g(x_r  (x_n  x_r ))  x_r  g^(x_r )(x_n  x_r )  O((x_n  x_r )² ) ^.

^xn1 ^{ x}r
 g^(x_r )(x_n  x_r )  O((x_n  x_r )² ) ^.

Shunday qilib,
e_n  x_n  x_r
kvadrat aniqlik bilan har bir iteratsiya uchun

quyidagi taqribiy tenglikni yozish mumkin:
x_n1  x_r  g^(x_r )(x_n  x_r ) .
Bu yerdan {x_n} ketma-ketlikni quyidagi formula bilan ifodalash mumkin:
x_n  x_r [g^(x_r )]ⁿ (x₀  x_r ) ^.
Bu ketma-ketlikning ham yaqinlashishi turi (2.6) ketma-ketlikniki kabi. Demak, oddiy iteratsiyalardagi ildizga yaqinlashish ketma-ketligi yaqinlashishni tezlashtirish prosedurasini qo‘llash uchun mos ekan.

96

Yaqinlashishni tezlashtirish prosedurasini qo‘llashda hisoblangan har bir yaxshi- lovchi qiymatning keyingi hisoblashlarda ham hisobga olinishini ta’minlash maqsa- dida uni shu zahoti hisobga kiritish lozim. Bu iteratsiyaning har bir qadamida quyidagicha bajariladi: faraz qilaylik, hisoblashlar x_n ning qiymatini hisoblashgacha

bajarildi; uning yordamida ikkita yordamchi
x⁽¹⁾  g(x ) ^{va x(2)  g(g(x ))}

n n ^{n n}

qiymatlarni hisoblaymiz. Uchta x,
(1)

x

va
n
(2)

x
n
qiymatlarga (2.7) tezlatgich formula-

ni qo‘llaymiz va uning natijasini navbatdagi x_n+1 yaqinlashish deb qabul qilamiz:

n
x_n g(g(x_n ))  g ² (x_n )

^{xn1 } g(g(x
))  2g(x_n
)  x_n
. (2.8)

Bu tenglik (2.5) Steffensen iteratsion formulasining yozilish shakllaridan biri
ekanligi ko‘rinib turibdi.

2. 
   misol. (2.8) formulani ushbu
   

x³ – x² – 8x + 12 = 0
tenglamaning ikki karrali ildizini topishga qo‘llang.