Xk X
|
2
Xk / Xk 1
|
0
|
2,000000000
|
2,000000000
|
1,414213562
|
-
|
1
|
1,693548387
|
0,890322581
|
0,702167004
|
0,351
|
2
|
1,394511613
|
0,750180529
|
0,466957365
|
0,947
|
3
|
1,192344147
|
0,82284086
|
0,261498732
|
1,199
|
4
|
1,077447418
|
0,918968807
|
0,112089950
|
1,639
|
5
|
1,022252471
|
0,976124950
|
0,032637256
|
2,598
|
6
|
1,002942200
|
0,996839728
|
4,317853366E-3
|
4,054
|
7
|
1,000065121
|
0,999930102
|
9,553233627E-5
|
5,124
|
8
|
1,000000033
|
0,999999964
|
4,871185259E-8
|
5,337
|
9
|
1,000000000
|
1,000000000
|
1,272646866E-14
|
5,363
|
Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga ega ekan-
ligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham,
Xk
C X 2
bog‘lanish ildizning yetarlicha
k 1
yaqin atrofida o‘rinli, bunda C o‘zgarmas esa yetarlicha katta: C 5,4.
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko‘payib borsa, u holda Yakob matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samara- dorligi pasayib borishini ko‘rishimiz mumkin. Agar bir o‘lchovli holatni qaraydigan bo‘lsak, u yerda f(x) va f (x) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. N o‘lchovli holda esa fi(x) larni hisoblash uchun n2 ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa fi (x) larni n marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.
2-Misol. Quyidagi
F x, y 2x3 y2 1 0
Gx, y xy3 y 4 0
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Grafik usulda yoki tanlov yo‘li bilan dastlabki yaqinlashish
x0 1,2
y0 1,7
aniqlangan bo‘lsin. U holda
J x0 , y0
6 x2
y3
3 xy2 1
, demak
J 1,2; 1,7
8,64
4,91
3,40
9,40
97,910
(12) formulaga ko‘ra
x 1,2 1 0,434
3,40
1,2 0,0349 1,2349 ;
1 97,91
0,1956
8,64
9,40
0,434
y1 1,7
4,91
0,1956
1,7 0,0390 1,6610 .
Hisoblashlarni shu singari davom qilib,
x2 1,2343 ;
y2 1,6615
ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dastur va grafiklardan ko‘rish mumkin (3-rasm):
plots[implicitplot]({2*x^3-y^2- 1=0,x*y^3-y-4=0},x=-2..2,y=-3..3);
solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y- 4=0},{x,y});
allvalues(%); evalf(%);
{x 1.234274484, y 1.661526467}
3-misol. Quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasini Nyuton usulida taqribiy yeching:
|
|
3-rasm. Misolda berilgan tenglamalar siste- masidagi funksiyalarning Maple dasturida chizilgan grafiklari.
|
x 2 x 2
x1 2 0,5; f1 ( x1 , x2 ) x1 2 0,5 0;
x
x
3
x 2
3 (0)
1
x 2
0,5;
(0)
2
1 .
x2 1 1; f 2 (x1 , x2 ) x2 1 1 0;
2 2
Yechish:
f1
x1
f 2
x2
1,
f1
x2
2
3
x2 ,
f 2
x1
x1 ,
f (x(0) , x(0) )
1
1 2 0.67,
x2
f 2 ( x(0) , x(0) )
(0)
(0)
(0)
(0)
1 2
x1
0.5,
f1 (x1
, x2
) 0.67,
f 2 (x1
, x2
) 1.87.
116
1 (x1 0.5) 0.67 (x2 1) 0.67;
x1 0.67 x2
0.84;
0.5 (x1 0.5) 1 (x2 1) 1.87;
0.5x1 x2
1.12;
(1)
(1)
f1 (x(1) , x(1) )
f 2 (x(1) , x(1) )
x1 2.36;
x2 2.3;
1 2
x2
1.53,
1 2
x1
2.36,
f1 (x(1) , x(1) ) 3.6, f 2 (x(1) , x(1) ) 4.2 ,
1 2 1 2
ya’ni
1 (x1 2.36) 1.53(x2 2.3) 3.6;
x1 1.53x2 2.28;
2.36 (x 2.36) 1(x 2.3) 4.2; 2.36x x
3.7;
1 2 1 2
x
(2)
1
1.26, x(2)
0.67; n2
max{(1.26 2.36)2 ,(0.67 2.3)2} 2.66.
2
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi ikkita haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dasturidan ko‘rish mumkin:
> fsolve({ x y^2/3 = 0.5, x^2/2+ y = 1}, { x, y}); allvalues(%);
{ x = 2.895363758, y = 3.191565646}
{ x = 0.1770315380, y = 0.9843299173}
Takomillashtirilgan Nyuton usuli
Nyuton hisob jarayoni (3.3) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa
W 1x(k ) ni hisoblash zarurati noqulaylik tug‘diradi.
Agar
W1x
matritsa izlanayotgan x* yechimning atrofida uzluksiz va
boshlang‘ich yaqinlashsh x0 izlanayotgan x* yechimga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u holda taqriban ushbu
W1x(k) W1x(0)
tenglikni o‘rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan
keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni ka- maytirib, quyidagi takomillashtirilgan Nyuton usuli formulasini vujudga keltiradi:
ξ(k 1) ξ(k) W1x(0) f x(k) ,
k 0,1, 2, ,
0 x0 . (3.14)
Shuni ta’kidlaymizki, (3.13) va (3.14) jarayonlar uchun dastlabki yaqinlashishlar
x(1) va ξ(1) o‘zaro mos keladi, ya’ni x(1) = ξ(1).
Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 3.4-rasmda tas- virlangan):
x(0) boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.
W1x(0) matritsani hisoblaymiz.
(3.14) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz.
Agar (3.13) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va x(k+1) (3.1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda 3-qadamga o‘tiladi.
Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo‘l bilan hisoblash mumkin bo‘lmasa, u holda Nyuton usulini qo‘llash murakkablashadi.
117
Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan olingan yaqinlashishdan foydalanib, xususiy hosilalar chekli ayirmalarga almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan,
x
(k )
j
nuqtada chap ayirma bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi
quyidagicha yoziladi:
f f x(k),..., x(k),..., x(k) x(k),..., x(k) h,..., x(k)
i i 1 j n i 1 j n .
xj h
Ana shu yo‘l bilan hisoblangan hosila qiymat- larini Nyuton formulasidagi Yakob matritsasini hisoblashga qo‘llab, iteratsion jarayonlar hisobini osonlashtirish mumkin. Ammo bunda Yakob matrit- sasi yomon shartlangan bo‘lib qolishi ehtimolligi mavjud. Shuni alohida ta’kidlaymizki, Yakob matrit- sasining analitik ifodasidan foydalanish hisoblashlar va dasturlash jarayonini ancha osonlashtiradi.
| Do'stlaringiz bilan baham: |