Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Xk  X
2 Xk / Xk 1
0	2,000000000	2,000000000	1,414213562	-
1	1,693548387	0,890322581	0,702167004	0,351
2	1,394511613	0,750180529	0,466957365	0,947
3	1,192344147	0,82284086	0,261498732	1,199
4	1,077447418	0,918968807	0,112089950	1,639
5	1,022252471	0,976124950	0,032637256	2,598
6	1,002942200	0,996839728	4,317853366E-3	4,054
7	1,000065121	0,999930102	9,553233627E-5	5,124
8	1,000000033	0,999999964	4,871185259E-8	5,337
9	1,000000000	1,000000000	1,272646866E-14	5,363

Jadvalning oxirgi ustunidagi sonlar usulning kvadratik yaqinlashishga ega ekan-

ligini tasdiqlaydi. Haqiqatan ham,
X_k
 C X ²
bog‘lanish ildizning yetarlicha

k 1
yaqin atrofida o‘rinli, bunda C o‘zgarmas esa yetarlicha katta: C  5,4.
Agar tenglamalar sistemasida tenglamalar soni ko‘payib borsa, u holda Yakob matritsasini hisoblashning qiyinlashishi hisobiga Nyuton usulining hisoblash samara- dorligi pasayib borishini ko‘rishimiz mumkin. Agar bir o‘lchovli holatni qaraydigan bo‘lsak, u yerda f(x) va f (x) larni hisoblash qiyinchiligi deyarli bir xil. N o‘lchovli holda esa f_i(x) larni hisoblash uchun n² ta hisoblashlarni bajarish talab etiladi, bu esa f_i (x) larni n marta hisoblashga hisbatan bir necha marta qiyin demakdir.
2-Misol. Quyidagi
F x, y  2x³  y² 1  0^


Gx, y  xy³  y  4  0 ^
sistemaning yechimini Nyuton usulida taqribiy hisoblang.
Yechish. Grafik usulda yoki tanlov yo‘li bilan dastlabki yaqinlashish

x₀  1,2
y₀  1,7
aniqlangan bo‘lsin. U holda

115

J x₀ , y₀  
6x²
_y3

• 
  2 y
  

3xy² 1

, demak

J 1,2; 1,7 
8,64
4,91
 3,40
9,40
 97,910

(12) formulaga ko‘ra

_{x  1,2  1}  0,434
 3,40
 1,2  0,0349  1,2349 ;^

¹ 97,91
0,1956


8,64
9,40 ^



 0,434 ^

y₁  1,7 
4,91
0,1956
 1,7  0,0390  1,6610 . ^
_

Hisoblashlarni shu singari davom qilib,
x₂  1,2343 ;


y₂  1,6615

ni topamiz va hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz.

Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dastur va grafiklardan ko‘rish mumkin (3-rasm): plots[implicitplot]({2*x^3-y^2- 1=0,x*y^3-y-4=0},x=-2..2,y=-3..3); solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y- 4=0},{x,y}); allvalues(%); evalf(%); {x  1.234274484, y  1.661526467} 3-misol. Quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasini Nyuton usulida taqribiy yeching:

3-rasm. Misolda berilgan tenglamalar siste- masidagi funksiyalarning Maple dasturida chizilgan grafiklari.

_{ x} 2 _{ x} 2
_x₁  ²  0,5; _ f₁ (x₁ , x₂ )  x₁  ²  0,5  0;

x

x
 ^{3 } 
 ^{x 2} 
³ (0)

1
_x 2
 0,5;
(0)
2
 1 .

_x₂  ¹  1; _ f ₂ (x₁ , x₂ )  x₂  ¹  1  0;
 2  2

Yechish:

 f₁
x_1
 f ₂
x₂
 1,
 f₁
x₂
  ²
3
 x₂ ,
 f ₂
x₁
 x₁ ,
 f (x⁽⁰⁾ , x⁽⁰⁾ )

1
^{1 2}  0.67,
x₂

 f ₂ (x⁽⁰⁾ , x⁽⁰⁾ )

(0)

(0)

(0)

(0)

1 2
x₁
 0.5,
 f₁ (x₁
, x₂
)  0.67,
 f ₂ (x₁
, x₂
)  1.87.

116


_1 (x₁  0.5)  0.67  (x₂  1)  0.67; _
x₁  0.67 x₂

 0.84;

_0.5  (x₁  0.5)  1 (x₂  1)  1.87;
_0.5x₁  x₂
 1.12;

(1)

(1)
 f₁ (x⁽¹⁾ , x⁽¹⁾ )

 f ₂ (x⁽¹⁾ , x⁽¹⁾ )

x₁  2.36;
x₂  2.3;
1 2
x₂
 1.53,
1 2
x₁
 2.36,

^{ f}₁ ^{(x(1) , x(1) )  3.6,  f} ₂ ^{(x(1) , x(1) )  4.2} ,
1 2 1 2
ya’ni

_1 (x₁  2.36) 1.53(x₂  2.3)  3.6;
_{ }x₁ 1.53x₂  2.28;

^ 2.36  (x  2.36) 1(x  2.3)  4.2; ^ 2.36x  x
 3.7;

 1 2  1 2

x
(2)
1
 1.26, x⁽²⁾
 0.67; _n2
 max{(1.26  2.36)² ,(0.67  2.3)²}  2.66.

2
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi ikkita haqiqiy yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dasturidan ko‘rish mumkin:
>fsolve({xy^2/3 = 0.5, x^2/2+y = 1}, {x,y}); allvalues(%);
{x = 2.895363758, y = 3.191565646}
{x = 0.1770315380, y = 0.9843299173}

3. Takomillashtirilgan Nyuton usuli

Nyuton hisob jarayoni (3.3) ni qurishda har bir qadamda teskari matritsa
^{W 1x(k ) } ni hisoblash zarurati noqulaylik tug‘diradi.

Agar
W^1x
matritsa izlanayotgan x^* yechimning atrofida uzluksiz va

boshlang‘ich yaqinlashsh x⁰ izlanayotgan x^* yechimga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u holda taqriban ushbu
_W1_x(k) _{ W}1_x(0) _
tenglikni o‘rinli deb qabul qilish yoki bu teskari matritsani bir qancha qadamlardan
keyin qayta hisoblash mumkin. Bu esa iteratsion jarayonlardagi hisoblashlarni ka- maytirib, quyidagi takomillashtirilgan Nyuton usuli formulasini vujudga keltiradi:

_ξ(k 1) _{ ξ}(k) _{ W}1_x(0) _{f x}(k) _,
k  0,1, 2, ,
 ^0  x^0 . (3.14)

Shuni ta’kidlaymizki, (3.13) va (3.14) jarayonlar uchun dastlabki yaqinlashishlar
x⁽¹⁾ va ξ⁽¹⁾ o‘zaro mos keladi, ya’ni x⁽¹⁾ = ξ⁽¹⁾.
Takomillashtirilgan Nyuton usulining algoritmi (blok-sxemasi 3.4-rasmda tas- virlangan):

1. 
   x⁽⁰⁾  boshlang‘ich yaqinlashish aniqlanadi.
   
2. 
   ^{W1x(0) } matritsani hisoblaymiz.
   
3. 
   (3.14) formula yordamida ildizni aniqlashtiramiz.
   
4. 
   Agar (3.13) shart bajarilsa, u holda masala yechilgan bo‘ladi va x^(k+1) (3.1) vektor tenglamaning ildizi deb qabul qilinadi, aks holda 3-qadamga o‘tiladi.
   

Agar Yakob matritsasidagi hosilalarni hisoblash murakkab yoki uni analitik yo‘l bilan hisoblash mumkin bo‘lmasa, u holda Nyuton usulini qo‘llash murakkablashadi.
117

Bunday holda oldingi qadamdagi iteratsiyadan olingan yaqinlashishdan foydalanib, xususiy hosilalar chekli ayirmalarga almashtirilib approksimatsiyalanadi, masalan,

x
(k )
j
nuqtada chap ayirma bilan hosilani ikki nuqtali approksimatsiyalash formulasi

quyidagicha yoziladi: f f x^(^k^),..., x^(^k^),..., x^(^k^)  x^(^k^),..., x^(^k^)  h,..., x^(^k^)  i  i 1 j n i 1 j n . xj h Ana shu yo‘l bilan hisoblangan hosila qiymat- larini Nyuton formulasidagi Yakob matritsasini hisoblashga qo‘llab, iteratsion jarayonlar hisobini osonlashtirish mumkin. Ammo bunda Yakob matrit- sasi yomon shartlangan bo‘lib qolishi ehtimolligi mavjud. Shuni alohida ta’kidlaymizki, Yakob matrit- sasining analitik ifodasidan foydalanish hisoblashlar va dasturlash jarayonini ancha osonlashtiradi.