Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

3.4. Nyuton-Rafson usuli Bu usul nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usulining takomillashtirilgan variantlaridan biri hisoblanadi. Faraz qilaylik, (3.1) yoki (3.1) nochiziqli teng- lamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Iteratsion formulani

3.5-rasm. Nyuton usuli mo- difikatsiyasining algoritmi.

hosil qilishimiz uchun f = ( f₁, f₂, , f_n ) vektor-funksiya komponentalari bo‘lgan

f₁, f₂ ,
funksiyalarning Teylor qatoriga yoyilmasining ularning birinchi tarti-

bligacha hosilasini o‘z ichiga olgan hadlari bilan cheklangan holini olamiz:
_f (k ) _f (k )

1

1

n
f ^(k)  ¹ x^{(k 1)}  ...  ¹ x^{(k 1)}  0,
x₁ x_n

(k )

_f (k )


(k 1)
_f (k )


(k 1)

f₂  ² x₁
x₁
 ...  ² x_n
x_n
 0,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

(k )

_f (k )


(k 1)
_f (k )


(k 1)

f_n  ⁿ x₁
x₁
 ...  ⁿ x_n
x_n
 0.

Bu yerda
_f (k ) _{ f}
(x^(k), x^(k), ..., x^(k) ) ;
_x(k 1) _{ x}(k 1) _{ x}(k ) _{, (j=1,…n).}

j j _{1 2 n} ^{j j j}
Bu tenglamalar sistemasini matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:
118

_f (k )
_f (k )
_f (k ) _{ x}(k 1) _{
 f} (k ) _

_ 1
¹ ...
1 _{ } ¹
  ¹ 

_ x₁
x₂
^xn  
  

_f (k )
_f (k )
_f (k )  _x^{(k 1)}   _f ^{(k )} 

 ^2
2 ...
²   ²   ² 

^ x₁
x_2
xn   ^.  ^  ^. 

   _.   _. 

_... ... ... ... ... ... ... ... ..._{ }
  

_f ^{(k )}
_f (k )
_f ^{(k )}   _.   _. 

_ n
ⁿ ...
^{n  }_x(k 1) ^{ } _f (k ) ^

^_ x₁
x₂
^xn ^ ^ ^{n } ^ ^{n }

yoki buni belgilashlar bilan soddaroq qilib quyidagicha yozish ham mumkin:
_W(k)_x(k 1) _{ f} (k) _.
Bu yerda ham xuddi yuqoridagidek, W = W(x) – Yakob matritsasi.

Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib,
_x(k 1) _{ x}(k ) _{ x}(k 1) _.
Bu usulning algoritmi quyidagicha:
x^{(k 1)} ni aniqlaymiz:

1. 
   x⁽⁰⁾ - boshlang‘ich yaqinlashish va  - hisob aniqligi beriladi.
   
2. 
   f_i   , (i=1,2,…,n) shart bajarilsa 6-qadamga o‘tiladi.
   
3. 
   W – Yakob matritsasi hisoblanadi.
   
4. 
   Wx = –f tenglamalar sistemasi yechiladi.
   
5. 
   x=x+x hisoblanadi va 2-qadamga o‘tiladi.
   
6. 
   x natijalar pechatga chiqariladi.
   

Nyuton-Rafson usulining nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga qo‘lla- nilishidagi asosiy shart bu Yakob matritsasining teskarisini hisoblashning mumkin yoki mumkin emasligida. Xususan, W^-1 ning taqribiy qiymatini quyidagicha hisob- lash mumkin. Faraz qilaylik, W^-1 – Yakob matritsasining k-iteratsiyadagi teskari mat- ritsasi bo‘lsin. (k+1)-iteratsiyadan keyin Yakob matritsasi quyidagicha hisoblanadi:

_W 1
 W ^1 W ^1 W
_W 1 _.

k 1 k k k k
Bu yondashuv hamma vaqt ham aniq emas va u bir qator kamchiliklarga ega. Ammo amaliyotdagi ko‘plab masalalarda bu oxirgi formula Yakob matritsasini hisoblashni ancha osonlashtiradi.

5. Iteratsiyalar usuli (ketma-ket yaqinlashishlar usuli)

Yuqoridagi (3.1) nochiziqli tenglamalar sistemasi ushbu
x₁  ₁(x₁, x₂ , ..., x_n ), _
x   (x , x , ..., x ),^
2 2 1 2 n ^


... ... ... ... ... ... ... ... ^

(3.15)

x_n  _n (x₁, x₂ , ..., x_n ) ^_
119

^{ko‘rinishga keltirilgan bo‘lsin, bu yerda} ₁,₂,
- haqiqiy funksiyalar bo‘lib,

1 2
ular bu sistema izolyatsiyalangan _x^, x^,
yechimining biror atrofida

aniqlangan va uzluksiz.
Qulaylik uchun quyidagi vektorni kiritamiz:
x  x₁, x₂ ,..., x_n  _va (x)  ₁(x),₂ (x),...,_n (x)_.
U holda (3.15) ni quyidagi vektor shaklida yozish mumkin:

1 2
x=φ(x). (3.16)

(3.16) tenglamaning
x^  _x^, x^,
vektor-ildizini topish uchun

ko‘pincha quyidagi iteratsiyalar usulini qo‘llash juda qulay:

_x(k 1)
 ₁(x^(k), x^(k), ..., x^(k) ), ^

1 1 2 n _

_x(k 1)
 ₂ (x^(k), x^(k), ..., x^(k) ),^

_x(k 1)
 (x^{(k )} )
yoki
2

...

...
...
...
1

...

...
2

...

...
n ^ k  0,1, 2,



, (3.17)

_x(k 1) _{ }
(x^(k), x^(k), ..., x^(k) ),^

n ⁿ 1 ²
n ^

bu yerda yuqoridagi indeks iteratsiyalar yaqinlash- ishi nomerini bildiradi; x^(0) x^*- boshlang‘ich yaqinlashish. Usulning blok-sxemali algoritmi 3.6- rasmda tasvirlangan. Agar (3.17) iteratsion jarayon yaqinlashivchan bo‘lsa, u holda ushbu   lim x^(^k^) (3.18) k limitik qiymat (3.17) tenglamaning ildizi bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar (3.18) munosabat ba- jarilgan desak, u holda (3.17) tenglikda k  ^bo‘yicha^limitga^o‘tib,^ ^x ^funksiyalarning uzluksizligidan quyidagiga ega bo‘lamiz: ^li^m^x^(^k^^1^)^^^^^li^m^x^(^k^)^^^,^y^a^’^ni^^^^ ^. k   k   Shunday qilib,   bu (3.16) vektor tenglama- ning ildizi. Agar, bundan tashqari, barcha x^(^k^) ^k^^0,1, ^yaqinlashishlar^biror^^-^sohaga tegishli bo‘lsa, u holda ^^^x^*ekanligi yaqqol ko‘rinadi. Soddaroq qilib aytganda, (3.17) iter- atsion jarayon ^x^(0)= x^(0), x^(0), ..., x^(0)   boshlan- 1 2 n

3.6-rasm. Nochiziqli tengla- malar sistemasini yechish uchun iteratsiyalar usulining blok-sxemali algoritmi.

120

g‘ich yaqinlashishdan boshlanib, bitta iteratsiyadan keyin barcha argumentlar orttir- masining moduli berilgan ε miqdordan kichik bo‘lmaguncha davom ettiriladi, ya’ni

_x(k 1) _{ x}(k )
 max x^{(k 1)}  x^{(k )}   .

^ 1in ^{i i}
Bu shartga teng kuchli bo‘lgan quyidagi shartdan ham foydalanish mumkin:

_x(k 1) _{ x}(k )
_{ x}(k 1) _{ x}(k )
 max ^
_x(k 1) _{ x}(k ) _^{2 } _{ }

 _{i i} 
² 1in ^{ }
Oddiy iteratsiya usuli dasturlash uchun juda qulay, ammo u quyidagi muhim kamchiliklarga ega:

1. 
   ^{ (x)} _ ^{ q  1, bu yerda   - vektor-funksiya  ning Yakob matritsasi,}  _
   

 ^{ }_n



^{i }

belgi bilan esa matritsa normasi kiritilgan:
(x) _
^ max _



l
1in _{ j 1
};


x_{j }

2. 
   
   
    ^(x) _l
   

^{ q  1}, bu yerda   - vektor-funksiya  ning Yakob matritsasi,

belgi bilan esa matritsa normasi kiritilgan:
 ^(x)



^ max ^ n
^{i } _;

_l ^
1 j n _{i 1}

_j _

3. 
   
   x
   agar boshlang‘ich yaqinlashish aniq yechimdan uzoqroq tanlangan bo‘lsa, a- shartning bajarilishiga qaramasdan, usulning yaqinlashishiga kafolat yo‘q; demak, boshlang‘ich yaqinlashishni tanlashning o‘zi ham sodda emas ekan;
   
4. 
   iteratsion jarayon juda sekin yaqinlashadi.
   

5. Oddiy iteratsiyalar usuli

Iteratsiyalar usulini dastlabki f(x) = 0 umumiy sistemaga ham qo‘llash mumkin,

bu yerda f(x)  vektor-funksiya bo‘lib, izolyatsiyalangan aniqlangan va uzluksiz.
Masalan, bu sistemani quyidagi ko‘rinishda yozaylik: