Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

NOCHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING SONLI USULLARI
Kalit so‘zlar: nochiziqli tenglamalar sistemasi; Nyuton, Nyuton-Rafson, oddiy iteratsiyalar, Zeydel, parametrlarni qo‘zg‘atish, Pikar iteratsiyalari, tezkor tushish, Broyden usullari.

1. Dastlabki tushunchalar

Ko‘plab amaliy masalalar nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Umumiy holda n noma’limli n ta nochiziqli algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:

f_{1 } x₁, x₂ , ,
f_{2 } x₁, x₂ , ,
f_{n } x₁, x₂ , ,
x_{n }  0 
^{xn   0}. (3.1)
x_{n }  0_

Ushbu (3.1) sistemani vektor shaklida quyidagicha yozish mumkin:
f(x) = 0. (3.1)
bu yerda x = (x₁, x₂, …, x_n)^T – argumentlarning vektor ustuni; f = ( f₁, f₂ , , f_n )^T –
funksiyalarning vektor ustuni; (…)^T – transponirlash operatsiyasi belgisi. Bu sistema

yechimini topishni geometrik talqinda 3.1-rasmdagi ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasining fazoviy tas- viri misolida tushuntirish mumkin. Nochiziqli tenglamalar sistemasi yechimini izlash – bu bitta nochiziqli tenglamani yechishga nisbatan ancha murakkab masala. Bitta tenglamani yechish uchun qo‘llanilgan usullarni nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga umumlashtirishjuda ko‘p hi- soblashlarni talab qiladi yoki uni ama- liyotda qo‘llab bo‘lmaydi. Xususan, bu

3.1-rasm. Ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasining fazoviy tasviri.

oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga tegishli. Shunga qaramasdan, nochiziqli tenglamani yechishning bir qator iteratsion usullarini nochiziqli tenglamalar siste- masini yechishga umumlashtirish mumkin.

2. Nyuton usuli

(3.1) tenglamalar sistemasini yechish uchun ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, (3.1) vektor tenglamaning izolyatsiyalangan x = (x₁, x₂,
…, x_n) ildizlaridan bittasi bo‘lgan ushbu k -inchi yaqinlashish
110

x^{(k )}  x^{(k )} , x^{(k )} ,..., x^{(k )} 
1 2 ⁿ
topilgan bo‘lsin. U holda (3.1) vektor tenglamaning aniq ildizini ushbu
^{x  x(k)  ε(k)} , (3.2)
ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda ^{ε(k )   (k ) , (k ) ,..., (k ) }  xatolikni tuzatu-

vchi had (ildizning xatoligi).

1 2 ⁿ

 
(3.2) ifodani (3.1) ga qo‘yib, quyidagi tenglamani hosil qilamiz: