Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

X  (x, y)
= (1; 1) ni Broyden usuli yordamida aniqlang.

Yechish. Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi qinlashishlarni quyidagi jadval shaklida ifodalaylik:
X_k  (x_k , y_k )
ya-

K	xk	yk	Xk  X
0	2,000000000	2,000000000	1,414213562
1	1,694513211	0,889023252	0,703323850
2	1,532940994	0,835742461	0,557679695
3	1,330935487	0,770464391	0,402746685
4	1,251500757	0,804076528	0,318808151
5	1,139841409	0.866849425	0.193092452
6	1.087198127	0.913245001	0.123003835
7	1.039140157	0.958904664	0.056751903
8	1.016525113	0.982554663	0.024029547
9	1.003700722	0.996037640	0.005421774
10	1.000537288	0.999428320	0.000784536
11	1.000005832	0.999993444	8.774735736E-6
12	1.000000808	0.999999157	1.167386327E-6
13	0.999999806	1.000000202	2.795316564E-7
14	1.000000000	1.000000000	3.994662952E-10

Jadvaldan ko‘rinadiki, bu misolning natijasiga Nyuton usuli bilan 8 qadamda er- ishilgan edi. Bu esa Broyden usulining iteratsiya tezligi Nyuton usulinikidan past ekanligini ko‘rsatadi. Shunga qaramasdan, Broyden usuli ommabop bo‘lib, hisoblash amaliyotida keng qo‘llanilib kelinmoqda.

9. Tezkor tushish usuli (gradiyentlar usuli)

Yuqoridagi (3.1) tenglamalar sistemasini qaraymiz. Faraz qilaylik,
f_i funksiya-

lar o‘zlarining umumiy aniqlanish sohasida haqiqiy va uzluksiz differensial- lanuvchan. Quyidagi funksiyani qaraymiz:

^U  ^x ^
n  f _ x _²  _ f _ x _,
f _ x _^.

^  ⁱ 
i 1
Ravchanki, (3.1) sistemaning har bir yechimi U(x) funksiyani nolga aylantiradi;

va aksincha U(x) funksiya nolga teng bo‘ladigan ing ildizlari.
x₁, x₂,
sonlar (3.1) sisteman-

132

Faraz qilamizki, (3.1) sistema izolyatsiyalangan yechimgagina ega bo‘lib, bu yechim U(x) funksiyaning qat’iy minimum nuqtasi bo‘lsin. Bu bilan masala n o‘lchovli fazoda U(x) funksiyaning minimumini topishga olib kelinadi.

Faraz qilaylik, x  (1) sistemaning vektor-ildizi,
_x⁰
esa uning boshlang‘ich ya-

qinlashishi bo‘lsin.
_x⁰
nuqta orqali U(x) funksiyaning sath sirtini o‘tkazamiz. Agar

_x⁰
nuqta x ildizga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u holda bizning farazimiz bo‘yicha sath

^{sirti U}  ^x ^{ U} _^x0 _
ellipsoidga o‘xshash.

_x⁰
nuqtadan boshlab
^U  ^x ^{ U} _^x0 _
sirt normali bo‘ylab harakatlanib, bu

harakatni shu normal qaysidir boshqa bir
^U  ^x ^{ U} _^x1 _
sath sirtiga biror
_x¹

nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz. Keyin yana
_x¹
nuqtadan harakatni

^U  ^x ^{ U} _^x1 _
sath sirti bo‘ylab davom ettirib, bu harakatni shu normal boshqa bir

yangi
^U  ^x ^{ U} _^x2 _
sath sirtiga biror
_x²
nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz

^{va hokazo. Vaholanki,} U _x^0 _  U _x^1 _  U _x^2 _  ^{bo‘lsa, u holda biz shu yo‘l bi-} lan harakatlanib, U(x) ning (3.1) sistemaning izlanayotgan x ildiziga mos keluvchi
 ^U 
 _x1 

eng kichik qiymatli nuqtasiga tezkor yaqinlashib boramiz. Ushbu
^U  ^x ^{   –}

U

 
 
_ ^xn _

tuzilgan
^U  ^x 
funksiyaning gradiyenti belgilashini kiritib,
OM₀M₁, OM₁M₂,

vektorli uchburchaklardan quyidagini yozamiz (xususiy holda 3.10-rasmga qarang):
^{x p1  x p  pU} _^{x p} _^,  ^{p  0,1, 2,}  ^.

Endi _p
ko‘paytuvchin aniqlash qoldi. Buning uchun quyidagi skalyar funksi-

yani qaraymiz:
^^  ^{ U  x p  pU} _^{x p} _^{ .}

 
^{Bu }^ 
funksiya U funksiya sathining
_x ^p 
nuqtadagi sath sirtiga o‘tkazilgan

normalga mos keluvchi o‘zgarishini beradi.
  _p
ko‘paytuvchini shunday tanlash

lozimki,
^^ 
funksiya minimumga erishsin. Bu funksiyadan  bo‘yicha hosila

olib, uni nolga tenglashtiramiz. Unda quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
^^  ^{ d U  x p  pU} _^{x p} _^{  0 . (3.40)}
_d _ _

133

(3.40) tenglamaning eng kichik musbat ildizi bizga _p
ning qiymatini beradi.

Endi _p
sonni taqribiy topish usulini qarab chiqaylik. Faraz qilamizki,   kichik

   fi ^x^^ U x   ^. ^n^p ^p  ^2 i1 ^^^^ ^fi funksiyani  ning chiziqli hadlariga- cha aniqlikdagi darajalariga yoyib, quyidagiga ega bo‘lamiz: n i   ^p   2 ^^f x     ^fi ^x^^p^  U x^^p^^^^, i1 ^ x ^      ^bu yerda^^f^i ^^^f^i, ^^f^i, , ^^f^i^^. x ^x1 x2 xn ^   Bulardan

3.10-rasm. Ikki o‘zgaruvchili funksiya holida gradiyentlar usulin- ing geometrik talqini.

parametr bo‘lib, uning kvadrati va undan yuqori darajalarini e’tiborga olmaslik mum- kin. U holda quyidagiga kelamiz:





_n ^ f_{i }x^{ p} _ ^ f_{i }x^{ p} _
^_ _  2_^ f_{i }x^p _   U _x^{ p} _^  U _x^{ p} _  0 ^.

i1 ^
_
Natijada,

^ i  
ⁿ _{f x} ^p
x ^
_



f_{i }x ^p _
 
U _x^{ p} _
x
_ f _x^{ p} _,


_{W x} ^p _{U x} ^p _

_{p } i1 ^x _ ^,

_n ^f_{i }x^{ p} _
^2 _W _x^{ p} _U _x^{ p} _,
_{W x} ^p _{U x} ^p _



i1 ^{ x}
_
U _x^{ p} _^


_

^{bu yerda W}  ^x ^{ fi}
x  vektor-funksiya f ning Yakob matritsasi.

Yuqoridagilardan quyidagi tenglikka kelamiz:

U _ 
^ n  f
 ^x^{2   2} n
_{f  x} ^fi  ^x _.

x x
^_{ i}
^{   i} x

Bu yerdan esa

_{j j} i1
 i1 _j

_
^{ n fi}  ^x _f
x ⁱ
 ^x^


^U  ^x ^{ 2 }i1 1 ^{  2W } ^x ^f  ^x ^,



_
_ n
_i1
^fi  ^x
x_n

^fi  ^x^
_

^{bu yerda W } ^x

• 
  transponirlangan Yakob matritsasi.
  

Shularga ko‘ra quyidagi natijaga kelamiz:
134

 f ^p ,WpWp^f ^^p^ p  2p  ,(3.41) WpWp^f ^^p^, WpWp^f ^^p^ bu yerda soddalik uchun quyidagicha yo- zuv qabul qilingan: f ^^p^ f x^^p^^;Wp  W x^^p^^, bularga ko‘ra x ^p^^1  x ^p  pWp f  ^p ,  ^p^^0,^1,^2, ^.^(3.42) Gradiyent usuli algoritmining blok- sxemasi 3.11-rasmda tasvirlangan.