Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti

Yechish. Buning uchun Nyuton iteratsiyasiga mos

g(x)  x 
f (x)


f ^(x)

deb olib, (2.8) formula bo‘yicha hisoblashlardan
{0,5; 1,87215909; 1,99916211; 1,99999996; 2,00000000}
ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu qiymatlarni _n ning yuqoridagi jadvalning to‘rtinchi ustunidagi qiymatlari bilan taqqoslab, tezlatgichni ketma-ketlikka emas, balki hatija olingan algoritmga kiritish bilan samaradorlik oshganligini ko‘rishimiz mumkin.

Ushbu misolni Maple dasturi- ning paketidan foydalanib yechamiz (2.39-rasm): >with(Student[NumericalAnalysis]): >f:= x^3 – x^2 – 8x + 12; >fsolve(f); –3,. 2., 2. >Steffensen(f,x=–2,tolerance=10^-4); –3.000000000 >plot(f,x=–3.5..3)

2.39-rasm. Steffensen usulining tenglama ikki karrali ildizini topishga qo‘llanilishi.

Teskari kvadratik interpolyatsiya usuli.

Usulning nomidan kelib chiqib, f(x)=0 tenglamaning ildiziga yangi yaqinlashishni topish uchun y= f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan x=g(y) funksiyaning kvadratik interpolyatsiyasidan foydalaniladi. Ikkinchi darajali ko‘phad
97

bilan interpolyatsiyalash uchun (x,y) tekislikning uchta nuqtasi zarur, ularni ildizga yaqinlashuvchi uchta ketma-ket nuqtalarni tanlaymiz:
(x_n-2, y_n-2=f(x_n-2)), (x_n-1, y_n-1=f(x_n-1)) va (x_n, y_n=f(x_n)).
Bunday holda Lagranjning interpolyatsion formulasi quyidagicha yoziladi:

_{P ( y) } x_k ( y  y_{k 1})( y  y_{k 2} ) _
x_{k 1}( y  y_k )( y  y_{k 2} ) _
x_{k 2} ( y  y_k )( y  y_{k 1} )
. (2.9)

k
² ( y
^{ y}k 1
)( y_k
 y_{k 2} )
^{( y}k 1
 y_k
)( y
k 1
 y_{k 2} )
^{( y}k 2
 y_k
)( y
k 2
 y_{k 1} )

Bu ko‘phaddan keyinchalik foydalanish quyidagi farazlarga asoslangan. Agar x=g(y) funksiya ma’lum bo‘lganda edi, u holda ildizni topish ushbu x_r = g(0) oddiy hisoblashga keltirilgan bo‘lardi. Ammo teskari funksiyani topish doimo tenglamani yechishdan ko‘ra murakkabroq. Ildiz atrofida g(y) funksiya P₂(y) ko‘phad bilan al- mashtirishni taklif qilish mumkin. Bu bilan biz P₂(0) ni hisoblab, dastlabki tenglamaning ildiziga yangi yaqinlashishni hosil qilamiz: x_k+1 = P₂(0).
Shunday qilib, (2.9) ifodaga mos teskari kvadratik interpolyatsiya usulining it- eratsiyalarini quyidagi formula bo‘yicha hisoblash mumkin:

_{x } ^yk 1 ^yk 2 ^xk _
^yk ^yk 2 ^xk 1 _
^yk ^yk 1 ^xk 2
. (2.10)

k 1
( y_k
^{ y}k 1
)( y_k
 y_{k 2} )
^{( y}k 1
 y_k
)( y


k 1
 y_{k 2} )
^{( y}k 2
 y_k
)( y


k 2
 y_{k 1} )

Teskari kvadratik interpolyatsiya usuli iteratsion jarayonlarining yaqinlashish tezligi =1,839 bo‘lib, bu kesuvchilar usulidagiga qaraganda kattaroq. Ammo bosh- lang‘ich hisoblashlar uchun uchta x₀, x₁, x₂ qiymatlarni hisoblash talab etiladi. Agarda bu qiymatlar noo‘rin tanlansa, hisob algoritmi xaotik tus oladi.
Kvadratik interpolyatsiyadan Myuller usulida ham foydalaniladi. Ammo bunda x=g(y) teskari funksiya emas, balki y= f(x) funksiya interpolyatsiyalanadi. Undan keyin esa interpolyatsion ko‘phadning ildizi dastlabki tenglamaga ildiziga yangi ya- qinlashishni beradi, deb hisoblanadi. Ammo, ikkinchi darajali ko‘phad ikkita ildizga ega, hisoblashlarda esa ulardan birini tanlashga to‘g‘ri keladi. Agar ko‘phad kom- pleks ildizlarga ega bo‘lib qolsa, u holda muammo yanada murakkablashadi. Shuning uchun Myuller usuli karrali bo‘lmagan ildizlar holida qulay va u teskari kvadratik in- terpolyatsiya usuliga nisbatan ustunlikka ega emas. Bu usul y= f(x) funksiya grafigi abssissa o‘qiga uringandagi ikki karrali ildizlarni topishga qulay.

5. Ko‘phad ildizlarini izlashning sonli usullari

Ko‘phadlarning maxsus xossalari algebraik tenglamalarni yechishning juda ko‘p usullarini yuzaga keltirgan, masalan, Lin usuli, Lobachevskiy usuli, Fridman usuli, parabolalar usuli, tushish usuli, Myuller usuli, Ridder usuli, Brent usuli, Lagerr usuli va boshqa usullar. Shulardan ba’zilari bilan tanishaylik.