Речной гидродинамики

A
», «
B
» и «
C
», расход при 
x
= 0 для каждого реше-
ния – 
q
A
, 
q
B
и 
q
C
(
q
= 
u
+
c
+
2
/
g
).
Часть I. Теоретическое описание течений мелкой воды
63

---

Будем непрерывно увеличивать 
h
R
при фиксированных остальных пара-
метрах. При некотором 
h
R
*
∈
(0,9, 1) два из трех решений перестают суще-
ствовать, поэтому при 
h
R 
= 1 есть только одно решение. На Рис. 3.1.5 пока-
заны возможные решения при 
h
R
= 0,9; 1, которые близки к предельному 
значению 
h
R
*. Расход при различных 
h
R
равен:
h
R
= 0,76: 
q
A
= 0,86;
q
B
= 1;
q
C
= 1;
h
R
= 0,90: 
q
A
= 0,70;
q
B
= 1;
q
C
= 1; (3.1.7)
h
R
= 1,00: 
q
A
= 0,58.
A B C
Рис. 3.1.4.
Глубина жидкости для трех решений задачи о распаде разрыва с начальными 
условиями (
h
L
, 
u
L
) = (0,20, 5,00) и (
h
R
, 
u
R
) = (0,76, 1,34)
Видно, что для двух из трех решений не выполнено Предположение 2.1 
о непрерывной зависимости расхода при 
x
= 0 от начальных условий. Поэ-
тому следует рассматривать только решение A.
A
(
h
R
= 0,9)
B
(
h
R
= 0,9)
C
(
h
R
= 0,9)
A
(
h
R
= 1)
Рис. 3.1.5.
Переход через точку бифуркации: сверху – 
три возможных решения задачи о распаде разрыва с 
начальными условиями (
h
L
, 
u
L
) = (0,20, 5,00) и (
h
R
, 
u
R
) =
(0,9, 1,34); снизу единственное возможное решение
задачи при (
h
L
, 
u
L
) = (0,20, 5,00) и (
h
R
, 
u
R
) = (1,0, 1,34)
64
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

3.1.4. Течения с бугром на дне
Стационарное течение.
Это распространенная одномерная тестовая за-
дача, которая формулируется следующим образом [Goutal, Maurel, 1997]. 
Рельеф дна задается по формуле
Рассматривается область течения 0 < 
x
< 
L
= 25 м и 
g
= 9,81 м/с
2
. Началь-
ные условия: 
u
= 0, 
b
+ 
h
= 
z
0
= const.
При 
x
= 0 расход равен 
hu
= 
q
in
, а при 
x
= 25 м глубина 
h
= 
h
out
(пока поток 
является докритическим, при сверхкритическом течении в условии нет не-
обходимости). Рассматриваются следующие режимы:
• 
Докритический режим
при 
z
0
= 2 м, 
q
in
 
= 4,42 м
2
/с и 
h
out
= 2 м. Точное 
решение 
h
= 
h
(
x
) может быть найдено с помощью соотношения:
• 
Транскритический режим
без скачка при 
z
0
= 0,66 м, 
q
in
= 1,53 м
2
/с и 
h
out
= 
0,66 м. Точное решение 
h
= 
h
(
x
) можно найти с помощью соотношения:
Здесь 
в рассматриваемом случае 
b
max
= 0,2 м.
• 
Транскритический режим
со скачком
при 
z
0
= 0,33 м, 
q
in
= 0,18 м
2
/с 
и 
h
out
= 0,33 м. Точное решение 
h
= 
h
(
x
) может быть найдено из системы 
уравнений:
Здесь 
x
s
– 
x
-координата скачка, 
h
1
и 
h
2
глубина жидкости вверх и вниз по 
потоку от него.
На Рис. 3.1.6 приведены результаты моделирования на сетке с Δ
x
=
0,25 м, а также на грубой сетке из трех ячеек. Значения в каждой ячейке 
на обеих сетках идеально соответствуют точному решению – во всех слу-
чаях различия в уровне воды составляют менее 0,02%. Это согласуется с 
тем, что схема основана на точном решателе задачи Римана с разрывным 
дном. Для подобных тестов точность схемы зависит главным образом от 
точности параметров решателя Римана (например, решателя кубических 
уравнений, метода Ньютона и т. д.). Можно заметить, что в третьем случае 
(Рис. 3.1.6с) численное решение соответствует резонансной волне в ячей-
ке, содержащей скачок.
Часть I. Теоретическое описание течений мелкой воды
65

---

Рис. 3.1.6.
Три случая стационарного течения над бугром: сравнение расчетов на 3 и 100 
вычислительных ячейках с точным решением
Нестационарное течение.
Для нестационарных течений метод также 
позволяет использовать грубые сетки, если размер ячейки достаточен для 
разрешения зависящих от времени изменений (например, размер ячейки 
меньше характерной длины бегущих волн). Чтобы продемонстрировать это, 
рассмотрим транскритический режим без скачка из предыдущего раздела с 
зависящим от времени расходом:
где 
q
0
= 1,53 м
2
/с, 
a
= 1, 
T
= 5 с, 10 с, 15 с, 20 с; начальные условия соответ-
ствуют стационарному решению при 
q
in
= 
q
0
(Рис. 3.1.6b).
На Рис. 3.1.7 показано изменение со временем уровня свободной поверх-
ности при 
x
= 10 м для четырех периодов колебаний 
T
= 5 с, 10 с, 15 с, 20 с и 
для двух сеток с 100 и 3 ячейками. Как только период колебаний становится 
достаточно большим, даже для нестационарных течений новый метод на 
сетке из трех ячеек дает отличные результаты.
Рис. 3.1.7.
Влияние периода колебаний потока на точность решателя с использованием 
грубой сетки для нестационарного течения над бугорком. Сплошные и пунктирные
линии – вычисления свободной поверхности 
z
при 
x
= 10 м на 3 и 100 вычислительных 
ячейках соответственно
(a) Докритический режим
(b) Транскритический режим 
без скачка
(c) Транскритический режим 
со скачком
0
20
40
60
80
100
0.75
0.80
0.85
0.75
0.80
0.85
0.75
0.80
0.85
0.75
0.80
0.85
t,
с
T=20
z,
м
T=15
T=10
T=5
66