Речной гидродинамики

Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

3.1.5. Одномерное стекание жидкости с учетом трения
Существует класс точных решений уравнений мелкой воды [MacDonald 
et al., 1997], которые позволяют протестировать баланс сил инерции, трения 
и скатывающей силы в численной схеме. Одномерные стационарные урав-
нения можно записать в виде
(3.1.8)
Точные решения строятся путем рассмотрения обратной задачи: по за-
данным h(x) и постоянному расходу q необходимо определить b(x), что де-
лается интегрированием (в общем случае численным) соотношения (3.1.8):
(3.1.9)
Здесь индексом ‘0’ обозначены параметры при 
x
= 0. 
Рассмотрим два частных случая.
• 
Течение с постоянной глубиной
. В этом случае дно задается линейной 
функцией
• 
Течение с периодически изменяющейся глубиной.
Например, можно по-
строить следующее точное решение уравнений (3.1.9): 
(3.1.10)
Результаты численного решения уравнений мелкой воды с граничными 
условиями, соответствующими второму случаю, приведены на Рис. 3.1.8 и 
хорошо согласуются с точным решением. Были выбраны следующие значе-
ния параметров: 
q
= 1 м/с, 
g
= 9,81 м/с
2
, 
n
= 0,2 с/м
1/3
(коэффициент шерохо-
ватости выбран большим, чтобы усилить влияние трения в задаче). Расчеты 
получены на сетке с шагом Δ
x
= 0,1 по схеме первого и второго порядка.
(а) (б)
Рис. 3.1.8.
Стационарное течение над периодическим дном с трением:
(а) – точное решение; (б) – сопоставление рассчитанной и теоретической глубины
на одном периоде
Часть I. Теоретическое описание течений мелкой воды
0
20
40
60
80
100
-4.0
-2.0
0.0
дно
свободная поверхность
z
x
50
52
54
56
58
60
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
аналитическое решение
расчет, первый порядок, 
∆
x=0.1
расчет, второй порядок, 
∆
x=0.1
h
x
67

---

Проверим скорость сходимости схемы второго порядка на этом тесте. 
Будем выбирать размер ячейки кратно двойке, т.е. Δ
x
s
= 100 · 2
-
s
, а отличие 
численного решения 
h
s
на сетке с шагом Δ
x
s
от точного решения 
h
(
x
) будем 
оценивать c помощью 
L
2
-нормы:
(3.1.11)
На Рис. 3.1.9 приведен график log
2
ε
(
s
) для схем первого и второго поряд-
ка – видно, что функция близка к линейной с наклонами –1,25 и –2,12, что 
соответствует ожидаемым порядкам сходимости. Схема второго порядка в 
9 раз точнее при 
s
= 6 и более, чем в 300 раз при 
s
= 12.