Речной гидродинамики

w
(˗0, 
t
) и 
w
(+0, 
t
) должны быть связаны любым из урав-
нений (2.2.5)–(2.2.7). 
Разрешимость этой задачи изучалась ранее для начальных условий част-
ного и общего вида [Остапенко, 2003а,б; LeFloch, Thanh, 2007, 2011; Han, 
Warnecke, 2014; Алексюк, Беликов, 2017; Aleksyuk, Belikov, 2019]. Решение 
существует для любых начальных условий, однако, в общем случае оказы-
вается неединственным: может быть одно, два или три решения. Этот факт 
затрудняет применение точного решателя в численных методах, так как 
не ясно, какое решение следует выбрать. В [Aleksyuk, Belikov, 2019] было 
показано, что этот вопрос может быть решен в общем случае с помощью 
дополнительной физической гипотезы, которая впервые была предложена 
в [Алексюк, Беликов, 2017а] для подкласса начальных условий – задачи с 
сухим дном справа от скачка дна (при 
x
> 0). Таким образом, существование 
и единственность решения для постановки задачи с этой дополнительной 
гипотезой были доказаны для произвольных начальных условий. Дополни-
тельная гипотеза формулируется следующим образом.
Предположение 2.1.
Расход 
q
= 
c
˗
2
u
˗ = 
c
+
2
u
+
должен непрерывно зави-
сеть от начальных условий.
Замечание 2.2.
Строго говоря, это предположение не позволяет отбросить 
все «нефизичные» решения. Существует двумерное многообразие начальных 
условий (в четырехмерном пространстве {
w
L
}×{
w
R
}), для которых уравнени-
ям и всем условиям удовлетворяют два решения с 
q
> 0. Оба решения иден-
тичны при 
x
< 0 и одно из них всегда соответствует резонансной волне со 
скачком при x = ˗0 (
c
b
→ 0). Последнее решение отбрасывается, поскольку 
является предельным для резонансных волн с 
q
> 0, для которых не выпол-
нено Предположение 2.1. Более того, такие волны, по всей видимости, неу-
стойчивы, так как малые возмущения в начальных условиях приводят к их 
исчезновению (поскольку при 
q
> 0 и 
c
b
> 0 резонансные волны отброшены).