Речной гидродинамики

2.2.3. Пример. Течение с сухим дном по одну сторону от разрыва
Идея выделения единственного решения была предложена в [Алексюк, 
Беликов, 2017а] и применена в частном случае задачи Римана с изначально 
сухим дном справа (
c
R 
= 0). Для большей ясности изложения кратко повто-
рим этот результат.
44
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

Если при 
x
> 0 дно вначале сухое, решение определяется только двумя 
параметрами, 
u
L
и 
c
L
. Схема возможных конфигураций решений на плоско-
сти (
u
L
, 
c
L
) показана на Рис. 2.2.3. Для начальных условий из каждой обла-
сти, кроме 4 и 7, существует только одно решение. Областям 4 и 7 соответ-
ствуют ситуации с тремя возможными решениями (на границах областей 4 
и 7 некоторые из этих решений могут стать идентичными, поэтому также 
возможно, что существует только два решения). Проверим, что решения в 
каждой области имеют непрерывно изменяющийся расход при 
x
= 0, ког-
да начальные условия непрерывно изменяются между точками в соседних 
областях. Только одно решение (не затененное на рисунке) удовлетворяет 
условию непрерывного перехода между областями 6 и 7, так как два других 
решения в 7 имеют расход (
h
L
 u
L
), отличный от расхода в области 6 (оче-
видно, не равный 
h
L
u
L
за гидравлическим прыжком, движущимся влево). 
Это решение также удовлетворяет предположению на границе между обла-
стями 7 и 8, так как на этой границе гидравлический прыжок имеет нуле-
вую скорость (на самой границе 7–8 должно быть выбрано решение типа 8,
см. замечание 2.2). Аналогично можно показать, что в области 4 следует 
рассматривать только то решение, которое не затенено, так как оно удовлет-
воряет предположению 2.1 при переходах в области 3 и 7.