Речной гидродинамики

Итоговый алгоритм
решения задачи о распаде разрыва над горизонталь-
ным дном описан ниже. В двумерном случае для определения поперечной 
компоненты скорости 
v
необходимо учесть, что она может меняться только 
на тангенциальном разрыве, следовательно 
v 
= 
v
L
при 
u
|
x
= 0
> 0 и 
v 
= 
v
R
иначе.
40
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

Окончание таблицы
2.2. Задача Римана над разрывным дном
Разыскиваются решения уравнений
(2.2.1)
с кусочно-постоянными поверхностью дна
(2.2.2)
и начальными условиями
(2.2.3)
Поскольку случай Δ
b
= 0 рассмотрен в предыдущем разделе, без потери 
общности считаем, что Δ
b
> 0 (Рис. 2.2.1).
Рис. 2.2.1.
Схема задачи о распаде разрыва над скачком дна
Обезразмеривание.
Анализ задачи упрощается введением безразмер-
ных параметров:
(2.2.4)
Часть I. Теоретическое описание течений мелкой воды
41

---

Это позволяет уменьшить количество параметров задачи на два. Таким 
образом, 
b'
(
x'
) = 0 при 
x'
< 0 и 
b'
(
x'
) = 1 при 
x'
> 0. Далее в рассуждениях ис-
пользуются пары 
w
'
= (
c'
, 
u'
) вместо пар (
h'
, 
u'
), штрихи опускаются.
2.2.1. Условия на стационарном скачке над разрывом дна
Возможны различные физические интерпретации разрыва дна, которые 
приводят к различным условиям на разрыве. Одним из подходов являет-
ся рассмотрение скачка дна как вертикального препятствия и учет реакции 
стенки и диссипативных процессов (см., например, [Булатов, 2014; Проко-
фьев, 2005; Cozzolino et al., 2011; Rosatti, Begnudelli, 2010]); обоснование 
такого подхода требует привлечения моделей более высокого порядка или 
экспериментов. В настоящем разделе описывается другой распространен-
ный способ, рассматривающий стационарный разрыв в рамках модели 
мелкой воды как предел монотонно меняющегося непрерывного дна при 
стремлении длины участка перехода к нулю. В этом случае возможны три 
ситуации с различными условиями на разрыве (Рис. 2.2.2): бесконтактный 
случай, когда поток слева не взаимодействует с потоком справа; случай со-
хранения энергии, когда параметры связаны законами сохранения массы и 
энергии (здесь под энергией потока мелкой воды понимается сумма 
u
2
/2 + 
gz
в размерных переменных); и случай резонансной волны, когда на переход-
ном интервале появляется стационарный гидравлический скачок.
Введем обозначения для значений по обе стороны от разрыва: