Речной гидродинамики

2.1. Задача Римана над горизонтальным дном
Будем решать задачу
с начальными условиями при 
t
= 0
(2.1.1)
(2.1.2)
36
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

в переменных 
w
= (
c,u
), где 
– критическая скорость (или скорость 
распространения малых возмущений). Здесь 
h
L
≥ 0, 
u
L
, 
h
R
≥ 0, 
u
R
– произволь-
ные заданные константы. Решение этой задачи существует и единственно 
(для участков сухого дна значения скорости 
u
могут быть произвольными, 
такие решения не различаются с физической точки зрения) и может быть 
построено в виде комбинации частных решений (раздел 2.1.1), которые за-
писываются на интервалах вида 
a
≤ 
x
/
t
≤ 
b
.
2.1.1. Частные решения
Заметим, что уравнениям (2.1.1) удовлетворяют следующие решения.
• 
Течение с постоянными параметрами
. Очевидно, 

w
= const (2.1.3)
является решением.
• 
Волна Римана
– решение вида
(2.1.4)
Выбор верхнего знака соответствует правой волне Римана (ПВР), нижнего 
– левой (ЛВР). Параметры течения в волне Римана определяются из соот-
ношений
(2.1.5)
• 
Гидравлический прыжок
(
ударная волна
) соответствует кусочно-посто-
янному решению с единственным разрывом, поток массы через который не-
нулевой (иначе в одномерном случае разрыв исчезает). Из соотношений на 
разрыве, распространяющемся со скоростью 
D
, 
(2.1.6)
следует, что параметры слева (индекс 1) и справа (индекс 2) от скачка свя-
заны соотношениями:
(2.1.7)
Выбор верхнего знака соответствует левому гидравлическому прыжку 
(ЛГП), нижнего – правому (ПГП). Здесь нефизичные решения отбрасы-
ваются с помощью условия об увеличении глубины за гидравлическим 
прыжком, что соответствует потере механической энергии при прохожде-
нии скачка [Стокер, 1959; Rayleigh, 1914]. Это условие подобно условию 
возрастания энтропии при прохождении через ударную волну в газовой 
динамике.