Речной гидродинамики

Часть I. Теоретическое описание течений мелкой воды
35

---

Глава 2. ЗАДАЧА РИМАНА
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ
Задача Римана (задача о распаде произвольного разрыва) – это одномер-
ная задача Коши для описывающих законы сохранения уравнений с началь-
ными условиями, заданными кусочно-постоянными функциями с разрывом 
в единственной точке. Помимо фундаментального значения, задача пред-
ставляет особый интерес в связи с использованием ее решателя при чис-
ленном моделировании течений на основе метода Годунова (см. раздел 2.3), 
который в различных модификациях широко и успешно применяется для 
решения гиперболических систем уравнений, описывающих течения в при-
ближении мелкой воды, в газовой динамике и магнитной гидродинамике 
[Куликовский, Погорелов, Семенов, 2001; LeVeque, 2002].
Для уравнений мелкой воды классическая постановка (над горизонталь-
ным дном) обсуждается, например, в [Куликовский, Погорелов, Семенов, 
2001; LeVeque, 2002; Toro, 2001], поэтому в настоящей монографии мы лишь 
кратко напомним ключевые теоретические элементы и приведем итоговый 
алгоритм решения (раздел 2.1). Основное внимание в главе уделено вопросу 
решения задачи Римана в случае, когда дно является кусочно-постоянной 
функцией (раздел 2.2), а в разделе 2.3 приводится описание метода Годуно-
ва для решения уравнений мелкой воды с использованием решателя задачи 
Римана над разрывным дном. Преимущество численного метода на осно-
ве этого решателя будет продемонстрировано на аналитических тестах в
главе 3. Оно отчетливо проявляется при моделировании течений со слож-
ным рельефом дна: любая стационарная часть потока над резко меняющим-
ся дном, разрешаемая на грубой сетке (две ячейки для одномерных задач), 
соответствует точному решению, а при использовании традиционных чис-
ленных алгоритмов может быть воспроизведена только на подробных сет-
ках. Как показано в разделе 3.1.4, аналогичное преимущество наблюдается 
и для медленно изменяющихся нестационарных течений. Для практических 
задач со сложной и недетализированной топографией это может иметь су-
щественное значение.