Речной гидродинамики

w
�
L
= Φ
LR
52
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

(
w
L
) (там, где Φ
LR
не определена, 
w
�
L
= 
Q
+
(
w
L
)). Решим классическую задачу 
о распаде разрыва при 
x
= 
ε
(с предраспадными значениями 
w
�
L
и 
w
R
) и бу-
дем считать, что полученное решение 
w
+
= 
R
(
w
�
L
,
w
R
) слабо отличается от 
значения точного решения при 
x
= +0 исходной задачи Римана над скачком 
дна. Тогда значение слева от разрыва дна находится из соотношения 
w
- = 
Φ
RL
(
w
+
). Таким образом, решение можно записать в виде
w
+
= 
R
(Φ
LR
(
w
L
), 
w
R
), 
w
- = Φ
RL
(
w
+
). (2.2.14)
Вариант 3.
Возможен вариант построения решения, когда промежуточ-
ная область длины 
ε
добавляется слева от разрыва:
w
- = 
R
(
w
L
, Φ
RL
(
w
R
)), 
w
+
= Φ
LR
(
w
-) (2.2.15)
Этот вариант используется при стекании со ступеньки (
q
< 0) со сверх-
критическими скоростями, при условии, что рассчитанная скорость слева 
не оказывается направленной в противоположную сторону и 
w
˗ принадле-
жит области определения Φ
LR
.
Данный алгоритм удовлетворяет важному условию стремления 
w
˗, 
w
+
к 
решению классической задачи о распаде разрыва при Δ
b
→ 0. Кроме того, 
если есть точное стационарное (на скачке) решение, то оно будет сохранять-
ся описанным алгоритмом.
2.3. Применение задачи Римана при численном
решении уравнений мелкой воды
Алгоритмы численной дискретизации уравнений мелкой воды зача-
стую основываются на алгоритмах газовой динамики [Куликовский, По-
горелов, Семенов, 2001; LeVeque, 2002], однако имеют и свои отличи-
тельные особенности, связанные в том числе с аппроксимацией рельефа 
дна. В середине 80-х годов одним из авторов монографии совместно с
А.Ю. Семеновым был разработан алгоритм [Куликовский, Погорелов, 
Семенов, 2001], основанный на точном решении задачи о распаде про-
извольного гидродинамического разрыва (аналог схемы С.К. Годунова с 
модификацией Колгана для газодинамических уравнений), в котором дно 
считалось непрерывным, а отметки дна задавались в узлах расчетной не-
структурированной сетки из треугольно-четырехугольных ячеек. Продол-
жительный и обширный опыт эксплуатации основанных на этом методе 
программ БОР и STREAM 2D [Беликов, Милитеев, Кочетков, 2001; Бе-
ликов, Кочетков, 2014] применительно к задачам гидравлики, гидрологии 
и гидротехники выявил ряд необходимых направлений их модернизации. 
Основными из них являются: повышение порядка аппроксимации по вре-
мени и пространству (до второго порядка) на треугольно-четырехуголь-
ных сетках нерегулярной структуры с возможностью расчета движения 
фронта волны по сухому негоризонтальному дну; а также изменение спо-
соба задания поверхности, поскольку задание отметок дна в узлах расчет-