|
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
 . (2)
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоватьсяонлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.
15. Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений.
Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья Несовместные системы и системы с общим решением. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.
Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений?
и решим ее методом Гаусса.
На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы:
. По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.
16. Понятие кривой второго порядка.
Кривые второго порядка
Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
где коэффициенты A,B,C одновременно не равны нулю.
Линии, определяемые такими уравнениями, называются кривыми второго порядка.
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами.
Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.
Координаты центра S(x0 ; y0) линии определяются из системы:
Обозначим через  .
При Δ≠0 кривая второго порядка будет центральной.
Причем, при Δ>0 уравнение является уравнением эллиптического типа. Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (точка), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа).
При Δ<0 уравнение является уравнением гиперболического типа. Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную (пару пересекающихся прямых).
При Δ=0 линия второго порядка не является центральной. Такие уравнения называются уравнениями параболического типа и определяют на плоскости либо обыкновенную параболу, либо пару параллельных (или совпадающих) прямых, либо не определяют на плоскости никакого геометрического образа
Классификация кривых второго порядка:
Эллипс
Окружность
Гипербола
Парабола
17. Эллипс. Гипербола. Парабола. Окружность.Круговым конусом называется поверхность, которая получится при вращении прямой вокруг другой прямой (оси вращения), пересекающей данную прямую. При этом вращающаяся прямая в любом своем положении называется образующей конуса, а точка пересечения прямой с осью вращения называется вершиной конуса.Конус имеет две полости, отделяемые друг от друга его вершиной.
Окружность, эллипс, гипербола и парабола могут быть получены сечениями кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. (Доказательство этого мы опускаем.) Поэтому эти кривые называютсяконическими сечениями.Если плоскость перпендикулярна оси конуса, то в сечении получится окружность.Если плоскость не перпендикулярна оси, пересекает лишь одну полость конуса и не параллельна ни одной из его образующих, то в сечении получится эллипс.Если плоскость пересекает одну полость конуса параллельно какой-нибудь одной его образующей, то в сечении получится парабола.Наконец, если плоскость пересекает обе полости конуса, то в сечении получится гипербола (рис. 52).Кривые второго порядка имеют большое применение в различных областях науки и техники. Приведем некоторые примеры.1. Известно, что планеты солнечной системы движутся по эллипсам, имеющим общий фокус, в котором расположено солнце.2. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то снаряд, выпущенный под углом к горизонту, описывает параболу.3. Если в фокусе параболы поместить источник света, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно ее оси. На этом свойстве основано устройство прожектора.4. Как доказывается в механике, ракета, запущенная с поверхности земли под некоторым углом к горизонту с начальнойскоростью  (вторая космическая скорость), будет двигаться по параболе, неограниченно удаляясь от поверхности земли. При начальной скорости  ракета также будет неограниченно удаляться от поверхности земли, двигаясь уже по гиперболе. Наконец, при начальной скорости  ракета, двигаясь по эллипсу, либо упадет снова на землю, либо станет искусственным спутником Земли.
18. Понятие комплексного числа. Геометрическое изображение комплексного числа. В первой главе комплексные числа изучались с алгебраической точки зрения. Мы рассмотрели основные алгебраические операции и свойства комплексных чисел. Но комплексные числа имеют и геометрическую интерпретацию как точки на плоскости или двумерные векторы. Действительно, каждое комплексное число z определяется парой вещественных чисел (x, y): z = x + iy. Тригонометрическая запись комплексных чисел оказывается удоб- ной и для извлечения корней n-й степени. Напомним, что корень n-й степени z 1 n (или √n z) — это комплекс- ное число w, для которого выполнено условие w n = z, т. е. при возведении этого числа в степень n мы получим z. Если z = 0 6 , то существует n различных корней n-й сте- пени из числа z: wk = pn |z|(cos ϕ + 2πk n + isin ϕ + 2πk n ), (12) где k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 и ϕ = arg z. При этом числа wk имеют одинаковый модуль (равный pn |z|) и расположены в вершинах правильного n-угольника (для случаая √8 1 см рис. 11). Ести n = 2, то значения корня лежат на диаметре окружности с центром в нуле.
19. Формы записи комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная. Каждая форма записи удобна для решения своих задач, соответственно вы можете переводить комплексное число из однойформы в другую, в зависимости от решаемой задачи.
Используя операции сложения и умножения комплексных чисел, запишем комплексное число  в виде:
 .
Эта форма записи комплексного числа называется алгебраической формой.
Комплексные числа, записанные в алгебраической форме можно складывать и умножать как обычные двучлены, учитывая, что  .
Пример.  .
Do'stlaringiz bilan baham: |
