Понятие вектора. Основные свойства векторов. Вектор

Понятие матрицы. Виды матриц. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством mстрок и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками илиразмерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или  (i=1,2,...m; j=1,2,...n).

Числа a_ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи a_ijпервый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей. Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

6. 
   Линейные операции над матрицами.
   

Линейная комбинация x₁a₁ + ... + x_na_n называется тривиальной, если все коэффициенты x₁, ..., x_n равны нулю. ... Определение. Вектора a₁, ..., a_n называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векто Вектора a1, ..., an называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной комбинации этих векторов равной нулевому вектору. То есть вектора a1, ..., an линейно независимы если x1a1 + ... + xnan = 0 тогда и только тогда, когда x1 = 0, ..., xn = 0. Определение. Вектора a1, ..., an называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация этих векторов равная нулевому вектору.

7. 
   Умножение матриц. Транспонирование матриц. Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами.  Умножение матрицы на число.
   

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

 – умножение матрицы на дробь. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу 

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

 – транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом  или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу 

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок

8.