Лекция №3 Тема. Вывод основных уравнений математической физики Уравнение теплопроводности,стационарные уравнения. План

Лекция №3

Тема. Вывод основных уравнений математической физики Уравнение теплопроводности ,стационарные уравнения. План:

1. Уравнение распространения тепла в стержне
2. Уравнение теплопроводности.
3 Уравнения стационарного поля.
Опорные слова и выражения.
Oднородный стержень скорость распространения тепла, уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности), уравнением распространения тепла в мембране , в пространственных телах

Уравнение распространения тепла в стержне

Рассмотрим однородный стержень длины . Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.
Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = .


Рис. 2.1.
Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой

(1)
где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 = х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время t, будет равно


(2)

то же самое с абсциссой х2:

(3)

Приток Q1 - Q2 в элемент стержня за время t будет равняться:

(4)

Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:

Или

(5)
где с – теплоемкость вещества стержня, – плотность вещества стержня ( xS – масса элемента стержня).
Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла , получим:

(6)

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне
Уравнение (11) называется уравнением распространения тепла в стержне
Где называется коэффициентом теплопроводности
Уравнение (12)
называется уравнением распространения тепла в мембране
Уравнение (13)
называется уравнением распространения тепла в пространственных телах..
Если к стержню,мембране или пространственнымтелам подключен дополнительный источник тепла,то уравнение распространения тепла будет в виде
, (14)
.Это неоднородное уравнение распротсранения тепла.
Уравнения (11), (12), (13) рассмотренные ранее называются соответственно одномерным,двумерным и трехмерным уравнением распротранения тепла

Уравнения стационарного поля..

Уравнения (11), (12), (13) рассмотренные ранее приндлежали тепловому полю,которое не является стационарным полем ,потому что процесс распространения тепла зависит от времени.
Теперь рассмотрим тепловое поле с установившейся температурой ,которое не меняется с изменением времени.Такое поле называется полем стационарных температур
A) Рассмотрим уравнение распространения тепла в однородном стержне , (11)
Когда установится постоянная темпераетура ,то есть скорость изменения темпераетуры равна нулю ,тогда в уравнении (11) будет ,и мы получим уравнение
= 0 (15)
. Если на стержень воздействует постоянный источник тепла,уравнение имеет вид
(16)
B) Если процесс расспространения тепла на мембране стационарный ,то уравнение (12)
примет вид
= 0 (17)
. Если на мембрану воздействует постоянный источник тепла,уравнение имеет вид
Рассмотрим уравнение расспространения тепла в однородном твердом теле в трехмерном пространстве
(13)
Если процесс расспространения тепла стационарный ,то уравнение (13)
примет вид
(19)
Если на тело воздействует постоянный источник тепла, то уравнение примет вид
(20) .
Выведенные выше уравнения (15), (17) и (19) соответственно называются одномерным,двумерным и трехмерным уравнением Лапласа ,а уравнения. (16), (18) va (20) называются одномерным,двумерным и трехмерным уравнением Пуассона.
Уравнения стационарного поля входят в класс уравнений эллиптического типа.Все уравнения рассмотренные выше называются уравнениями математической физики
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М. 1976.
   
2. 
   Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям матема­тичес­кой физики. М. 1977
   
3. 
   Михлин С.Г. Курс математической физики. М., 1968.
   
4. 
   СалохиддиновМ.С.Математик физика тенгламалари.Т., «Ўзбекистон», 2002,448 б.
   
5. 
   Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М. 1966.