Понятие вектора. Основные свойства векторов. Вектор

у = к₁х + b₁ и у = к₂х + b₂ (см. рис. 22).

Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положительном направлении прямую L₁ вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой L₂.

Решение: Имеем α₂ = φ + α₁(теорема и внешнем угле треугольника) или φ=α_{2 -}α₁. Если φ≠π/2, то

Ho tg α₁ = к_1, tg α₂= k₂, поэтому

 ^(2.12)

откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая прямая является первой, какая — второй, то правая часть формулы (2.12) берется по модулю, т. е

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то φ = 0 и tg φ = 0. Из формулы (2.12) следует к₂ - к₁ =0, т. е. к₂ = к₁. И обратно, если прямые L₁ и L₂ таковы, что к₁=к₂, то tg φ = 0, т. е. прямые параллельны.

Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: к₁=к₂

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то φ = π/2. Следовательно,



Отсюда 1 + к₁• к₂ = 0, т. е. к₁• к₂ = -1( или к₂ =- 1/к₁)

Справедливо и обратное утверждение. Таким образом,условием перпендикулярности прямых является равенствок₁• к₂ = -1

Расстояние от точки до прямойрис. 23

 Пусть заданы прямая L уравнением Ах + By + С = 0 и точка М(х_о;у_о) (см. рис. 23). Требуется найти расстояние от точки M₀ до прямой L.

Решение: Расстояние d от точки Мо до прямой L равно модулю проекции вектора М₁Мо, где M₁(x₁;y₁) - произвольная точка прямой L, на направление нормального вектора п = (А;В). Следовательно,

  

Так как точка M₁(x₁;y₁) принадлежит прямой L, то Ах₁ +- Ву₁ + С = 0, т. е

С =- Ах₁ – Ву₁. Поэтому

 (2.13)

что и требовалось получить.