Понятие вектора. Основные свойства векторов. Вектор

Понятие определителя. пределитель единичной матрицы равен единице:

det(E) = 1

1. 
   Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
   
2. 
   Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
   
3. 
   Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
   
4. 
   Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.
   
5. 
   При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:
   

det(A) = det(A^T)

6. 
   Определитель обратной матрицы:
   

det(A^-1) = det(A)^-1

7. 
   Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
   
8. 
   Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).
   
9. 
   Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
   
10. 
    Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:
    

a₁₁a₁₂...a_1na₂₁a₂₂...a_2n....k·a_i1k·a_i2...k·a_in....a_n1a_n2...a_nn = k·a₁₁a₁₂...a_1na₂₁a₂₂...a_2n....a_i1a_i2...a_in....a_n1a_n2...a_nn

11. 
    Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:
    

B = k·A   =>   det(B) = kⁿ·det(A) где A матрица n×n, k - число.

12. 
    Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a₁₁a₁₂...a_1na₂₁a₂₂...a_2n....b_i1 + c_i1b_i2 + c_i2...b_in + c_in....a_n1a_n2...a_nn = a₁₁a₁₂...a_1na₂₁a₂₂...a_2n....b_i1b_i2...b_in....a_n1a_n2...a_nn + a₁₁a₁₂...a_1na₂₁a₂₂...a_2n....c_i1c_i2...c_in....a_n1a_n2...a_nn

    
    
13. 
    Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
    
14. 
    Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: det(A·B) = det(A)·det(B)
    

9. 
   Основные свойства определетелей.
   

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕ Равноправие строк и столбцов. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.  Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца (строки). Антисимметрия. При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на противоположный, а абсолютная величина остается неизменной. Доказательство свойств 1 и 3 основано на правиле расстановки знаков членов определителя. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю. Действительно, при перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.

, откуда  или . Линейность. Если j-й столбец (i-я строка A) определителя det A является линейной комбинацией A λB + μC (A λB + μC) двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель оказывается линейной комбинацией det A  det A(λB + μC)  λdet A(B) + μdet A(C) определителей det A(B) и det A(C). Здесь det A(B) (det A(C)) – определитель, полученный из определителя det А заменой в нем j-го столбца A на столбец В (столбецС ). Общий множитель всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить на число λ, то сам определитель умножится на это число.  Если какой-либо столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов (строк), то определитель равен нулю. Свойства 6 и 7 вытекают из пятого свойства. Определитель не изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную комбинацию его столбцов (строк). Действительно, в силу линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с двумя одинаковыми столбцами (строками). Определитель суммы двух квадратных матриц одного и того же порядка n A  и  В , i, j =  равен сумме всех различных определителей порядка n, которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть – совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В. Доказательство следует из свойства линейности определителя. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей det (AВ)  det Adet B.

10.