|
BIRINCHI VA IKKINCHI TUR SIRT INTEGRALLARI
REJA
Birinchi tur sirt integrali tushunchasi va uni hisoblash
Birinchi tur sirt integralining tadbiqlari
Ikkinchi tur sirt integrali tushunchasi va uni hisoblash
Birinchi tur sirt integrali tushunchasi va uni hisoblash.
Fazoda ushbu
(1)
tenglama bilan aniqlangan
sirtni qaraylik. Bunda
funktsiya
to’plamda uzluksiz va
uzluksiz
xususiy hosilalarga ega. Ma’lumki, (1) sirt yuzaga ega bo’lib, uning yuzi
bo’ladi.
Aytaylik,
sirtda
funktsiya berilgan bo’lsin.
sirtni undagi chiziqlar yordamida
bo’lakchalarga ajratib, uning
bo’laklashini hosil qilamiz. Bu bo’laklashning diametrini
deylik. Endi har bir
da
ixtiyoriy
nuqtani olib, bu nuqtadagi funktsiyaning qiymati
ni
ning yuzi
ga ko’paytiramiz. So’ng quyidagi
(2)
yig’indini tuzamiz. Ravshanki, bu yig’indi
funktsiyaga,
bo’laklashga hamda
nuqtaga bog’liq bo’ladi:
Odatda, (2) yig’indi
funktsiyaning integral yig’indisi (Riman yig’indisi) deyiladi.
1-ta’rif.
Agar
olinganda ham shunday
topilsaki,
sirtning diametri
bo’lgan har qanday bo’laklash uchun tuzilgan
yig’indi ixtiyoriy
nuqtada
tengsizlikni bajarsa,
funktsiya
sirt bo’yicha integrallanuvchi deyilib,
son esa
funktsiyaning birinchi tur sirt integrali deyiladi. Birinchi tur sirt integrali quyidagicha
kabi belgilanadi:
.
Keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, birinchi tur sirt integrali
sirtning tomoniga bog’liq bo’lmaydi. Xususan,
bo’lsa,
D
D
dxdy
y
y
x
P
x
y
x
Q
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
z
z
S
)
,
(
y
x
z
2
R
D
)
,
(
),
,
(
y
x
z
y
x
z
y
x
dxdy
y
x
z
y
x
z
S
D
y
x
)
,
(
)
,
(
1
2
2
S
)
,
,
(
z
y
x
f
S
n
S
S
S
,...,
,
2
1
n
S
S
S
P
,...,
,
2
1
p
k
S
)
,...,
4
,
3
,
2
,
1
(
n
k
)
,
,
(
k
k
k
)
,
,
(
k
k
k
f
k
S
k
S
k
n
k
k
k
k
S
f
1
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
f
P
)
,
,
(
k
k
k
)).
,
,
(
,
,
(
k
k
k
P
f
)
,
,
(
z
y
x
f
0
0
S
p
K
k
k
k
S
)
,
,
(
J
)
,
,
(
z
y
x
f
S
J
)
,
,
(
z
y
x
f
S
ds
z
y
x
f
)
,
,
(
k
n
k
k
k
k
S
S
f
ds
z
y
x
f
p
1
0
)
,
,
(
)
,
,
(
lim
S
1
)
,
,
(
z
y
x
f
S
S
ds
bo’ladi.
Aytaylik,
funktsiya (1) tenglama bilan berilgan
sirtda aniqlangan bo’lsin.
1-teorema.
Agar
funktsiya
sirtda uzluksiz bo’lsa, u holda bu funktsiyaning sirt
bo’yicha birinsi tur sirt integrali mavjud va
(3)
bo’ladi.
Agar fazodagi
sirt ushbu
tenglama bilan aniqlangan bo’lib, bunda
funktsiya uzluksiz va uzluksiz
,
xususiy hosilalarga ega bo’lsa, bu sirtda uzluksiz bo’lgan
funktsiyaning birinchi tur sirt
integrali mavjud va
(7)
bo’ladi.
Agar fazodagi
sirt ushbu
tenglama bilan aniqlangan bo’lib, bunda
funktsiya uzluksiz va uzluksiz
,
xususiy hosilalarga ega bo’lsa, bu sirtda aniqlangan uzluksiz
funktsiyaning birinchi
tur sirt integrali mavjud va
(8)
bo’ladi. Bu tasdiqlar yuqorida keltirilgan teoremaning isboti kabi isbotlanadi.
Birinchi tur sirt integralining tadbiqlari.
Ta’rifga binoan,
bo’ladi.
Aytaylik,
sirt bo’yicha zichlik
bo’lgan massa tarqatilgan bo’lsin. Bunday
sirtning massasi
,
(9)
og’irlik markazining koordinatalari
,
,
,
,
o’qlariga nisbatan inertsiya momentlari
,
,
bo’ladi.
Ikkinchi tur sirt integrali tushunchasi va uni hisoblash
. Faraz qilaylik,
sirtda
funktsiya berilgan bo’lsin. Bu sirtning ma’lum bir tomonini olib, uning
)
,
,
(
z
y
x
f
S
)
,
,
(
z
y
x
f
S
S
y
x
D
dxdy
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
f
ds
z
y
x
f
)
,
(
)
,
(
1
))
,
(
,
,
(
)
,
,
(
2
2
S
z
y
x
x
,
z
y
x
x
,
z
y
x
y
,
z
y
x
z
,
z
y
x
f
,
,
dydz
z
y
x
z
y
x
z
y
z
y
x
f
dS
z
y
x
f
z
y
D
S
,
,
1
,
,
,
,
,
2
2
S
x
z
y
y
,
x
z
y
y
,
x
z
y
z
,
x
z
y
x
,
z
y
x
f
,
,
dzdx
x
z
y
x
z
y
z
x
z
y
x
f
dS
z
y
x
f
x
z
D
S
,
,
1
,
,
,
,
,
2
2
D
dS
S
S
z
y
x
,
,
dS
z
y
x
m
S
,
,
ds
z
y
x
x
m
x
S
c
,
,
1
ds
z
y
x
y
m
y
S
c
,
,
1
ds
z
y
x
z
m
z
S
c
,
,
1
OX OY OZ
dS
z
y
x
y
z
J
S
x
,
,
2
2
dS
z
y
x
x
z
J
S
y
,
,
2
2
dS
z
y
x
y
x
J
S
z
,
,
2
2
S
)
,
,
(
z
y
x
f
}
,...,
,
{
2
1
n
S
S
S
P
bo’laklashni qaraylik.
bo’laklashning har bir
bo’lakchasiga tegishli bo’lgan ixtiyoriy
nuqtasidagi funktsiyaning qiymati
ni
ning
tekisligidagi proektsiyasi
ning
yuzi
ga ko’paytirib quyidagi
yig’indini tuzamiz.
Ravshanki, bu yig’indi
funktsiyaga,
bo’laklashga, hamda olingan
nuqtalarga bog’liq bo’ladi.
1-ta’rif.
Agar
son olinganda ham shunday
son topilsaki,
sirtning diametri
bo’lgan har qanday
bo’laklashning, hamda har bir
da olingan ixtiyoriy
lar
uchun
tengsizlik bajarilsa,
funktsiya
sirtning tanlangan tomoni bo’yicha integrallanuvchi deyilib,
esa
funktsiyaning
sirtning tanlangan tomoni bo’yicha ikkinchi tur sirt integrali deyiladi.
Uni
kabi belgilanadi. Demak,
.
Eslatma.
Ikkinchi tur sirt integralining yozilishidan, integral sirtning qaysi tomoni bo’yicha
olinganligi ko’rinmaydi. Ikkinchi tur sirt integrali yozilganda har gal integral sirtning qaysi tomoni bo’yicha
olinayotganligi aytib boriladi. Keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki, ikkinchi tur sirt integrali sirt tomoniga
bog’liq bo’lib, sirtning bir tomoni bo’yicha integral uning ikkinchi tomoni bo’yicha integraldan faqat
ishorasi bilan farq qiladi.
Xuddi yuqoridagiga o’xshash
,
ikkinchi tur sirt integrallari ta’riflanadi.
Aytaylik,
sirtda
,
,
funktsiyalar berilgan bo’lib,
,
,
lar ularning ikkinchi tur sir integrallari bo’lsin. Ushbu
yig’indi ikkinchi tur sirt integralining umumiy ko’rinishi deyiladi. Uni
kabi belgilanadi:
Faraz qilaylik,
fazoda biror
jism berilgan bo’lib, uni o’rab turuvchi yopiq sirt silliq sirt
bo’lsin. Bu sirtni
deylik.
P
k
S
)
,
,
(
k
k
k
)
,
,
(
k
k
k
f
k
S
XOY
k
D
k
D
n
k
k
k
k
k
D
f
1
)
,
,
(
)
,
,
(
z
y
x
f
P
)
,
,
(
k
k
k
0
0
S
p
P
k
S
)
,
,
(
k
k
k
J
)
,
,
(
z
y
x
f
S
J
)
,
,
(
z
y
x
f
S
S
dxdy
z
y
x
f
)
,
,
(
k
k
k
k
n
k
p
S
D
f
dxdy
z
y
x
f
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
1
0
S
dydz
z
y
x
f
)
,
,
(
S
dzdx
z
y
x
f
)
,
,
(
S
)
,
,
(
z
y
x
P
)
,
,
(
z
y
x
Q
)
,
,
(
z
y
x
R
S
dxdy
z
y
x
P
)
,
,
(
S
dydz
z
y
x
Q
)
,
,
(
S
dzdx
z
y
x
R
)
,
,
(
S
S
S
dzdx
z
y
x
R
dydz
z
y
x
Q
dxdy
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
S
dzdx
z
y
x
R
dydz
z
y
x
Q
dxdy
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
.
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
S
S
S
S
dzdx
z
y
x
R
dydz
z
y
x
Q
dxdy
z
y
x
P
dzdx
z
y
x
R
dydz
z
y
x
Q
dxdy
z
y
x
P
3
R
V
S
funktsiya
da aniqlangan bo’lsin.
jismni
tekisligiga parallel bo’lgan
tekislik ikki
va
qismlarga ajratsin. Jismni o’rab turgan
sirt ham
va
sirtlarga ajraladi.
Ushbu
(2)
integrallar yig’indisi
funktsiyaning yopiq sirt bo’yicha ikkinchi tur sirt integrali deyiladi. Uni
kabi belgilanadi. (2) munosabatdagi birinchi integral
sirtning ustki tomoni, ikkinchi integral
sirtning
ostki tomoni bo’yicha olingan.
Xuddi shunga o’xshash
,
hamda, umumiy holda
integrallar ta’riflanadi.
Faraz qilaylik,
funktsiya (1) tenglama bilan berilgan
sirtda aniqlangan bo’lsin.
1-teorema
. Agar
funktsiya
sirtda uzluksiz bo’lsa, u holda bu funktsiyaning
sirt
bo’yicha ikkinchi tur integrali mavjud va
(3)
bo’ladi.
Xuddi yuqoridagidek, tegishli shartlarda
,
integrallar mavjud va
(6)
(7)
bo’ladi.
Ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga keltirilib (3), (6) va (7) formulalar yordamida
hisoblanadi.
1) Agar
sirt yasovchilari
o’qiga parallel bo’lgan tsilindrik sirt bo’lsa, u holda
bo’ladi:
2) yasovchilari
o’qiga parallel bo’lgan tsilindrik sirt bo’lsa, u holda
bo’ladi:
3) yasovchilari
o’qiga parallel bo’lgan tsilindrik sirt bo’lsa, u holda
bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
