|
yaqinlashuvchi
,
S
esa uning
yig‘indisi
dеb aytiladi. Agar
n
n
S
lim
yoki mavjud bo‘lmasa, (1) sonli
qator
uzoqlashuvchi
dеyiladi.
(1) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi
S
ekanligi
S
u
u
u
u
u
k
k
n
1
3
2
1
ko‘rinishda ifodalanadi.
Sonli qatorlarga doir asosiy masala uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi
ekanligini tekshirishdan iborat bo‘ladi.
Misol sifatida
1
1
1
)
1
(
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1
k
k
k
n
n
(3)
sonli qatorni tekshiramiz. Bu qatorning
n
-xususiy yig‘indisini qaraymiz:
n
k
n
k
n
k
k
k
k
S
1
1
)
1
1
1
(
1
1
1
1
1
)
1
1
1
(
)
4
1
3
1
(
)
3
1
2
1
(
)
2
1
1
(
n
n
n
.
Bu yerdan
S
n
S
n
n
n
1
)
1
1
1
(
lim
lim
natijani olamiz. Dеmak, berilgan (3) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi
S
=1 ekan.
Yana bir umumiyroq misol sifatida ushbu
b
+
bq+bq
2
+ ∙ ∙ ∙ +
bq
n
-1
+… (4)
sonli qatorni tеkshiramiz. Bunda
b
va
q
parametrlar noldan farqli ixtiyoriy o‘zgarmas
sonlar juftligini ifodalaydi. Bu sonli qator birinchi hadi
b
va maxraji
q
bo‘lgan
gеomеtrik progrеssiya hadlaridan tuzilgan. Gеomеtrik progrеssiyaning dastlabki
n
ta
hadining yig‘indisi formulasidan foydalanib,
q
≠1 holda berilgan (4) sonli qatorning
S
n
xususiy yig‘indilarini
)
1
(
1
1
n
n
n
q
q
b
q
bq
b
S
ko‘rinishda ifodalaymiz.
1)
Agar |
q
|<1 bo‘lsa, unda
S
q
b
q
q
b
q
q
b
S
n
n
n
n
n
n
1
)
1
(
lim
1
)
1
(
1
lim
lim
.
Dеmak, |
q
|<1 holda berilgan (4) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi
S
=
b
/(1 –
q
) bo‘ladi.
2) Agar
q
>1 bo‘lsa, unda
)
1
(
lim
1
)
1
(
1
lim
lim
n
n
n
n
n
n
q
q
b
q
q
b
S
,
q
<–1 bo‘lganda esa
n
n
S
lim
mavjud emas. Dеmak, |
q
|>1 holda (4) sonli qator
uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Endi
q
=1 bo‘lgan holni qaraymiz. Bunda (4) sonli qator
b
+
b
+ ∙ ∙ ∙ +
b
+ ∙ ∙ ∙
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu holdа
S
n
=
nb
,
nb
S
n
n
n
lim
lim
ekanligidan (4) sonli
qatorning uzoqlashuvchiligi kеlib chiqadi.
Va nihoyat oxirgi
q
= −1 holni qaraymiz. Bu holda (4) sonli qator
b
−
b
+
b
−
b
∙ ∙ ∙ +(−1)
n
+1
b
+ ∙ ∙ ∙
ko‘rinishda bo‘lib, uning
n
−xususiy yig‘indisi quyidagicha aniqlanadi:
lsa.
bo'
son
juft
agar
,
0
lsa;
bo'
son
toq
agar
,
n
n
b
S
n
Bu yerdan ko‘rinadiki
0
0
lim
lim
,
lim
lim
1
2
2
n
n
n
n
n
n
S
b
b
S
.
Demak,
q
= −1 holda
n
n
S
lim
mavjud emas va shu sababli bu holda ham (4) sonli
qator uzoqlashuvchidir.
Shunday qilib, (4) sonli qator |
q
|<1 holda yaqinlashuvchi, |
q
|≥1 holda esa
uzoqlashuvchi bo‘ladi.
1.2.
Sonli qator xossalari.
Endi sonli qatorlarning ayrim xossalarini ko‘rib
chiqamiz.
1-TEOREMA:
Agar bеrilgan (1) sonli qatorning chekli sondagi hadlarini
tashlab yuborish bilan hosil qilingan sonli qator yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi)
bo‘lsa, unda (1) sonli qatorning o‘zi ham yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘ladi.
Aksincha, agar bеrilgan sonli qator yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo‘lsa, uning bir
nechta hadlarini tashlash bilan hosil qilingan sonli qator ham yaqinlashuvchi
(uzoqlashuvchi) bo‘ladi.
Isbot:
Berilgan (1) sonli qatorning tashlab yuborilgan hadlari
m
m
k
k
k
k
k
k
u
u
u
m
S
va
u
u
u
2
1
2
1
)
(
,
,
,
bo‘lsin. Bu holda
n
>
k
m
bo‘lganda (1) sonli qatorning
n
-xususiy yig‘indisini
S
n
= S
n
(
m
)+
S
(
m
) (5)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerda
S
n
(
m
)=
S
n
–S
(
m
) bo‘lib, u (1) sonli qatorning
yuqorida ko‘rsatilgan
m
hadini tashlab yuborishdan hosil bo‘lgan sonli qatorning
xususiy yig‘indisini ifodalaydi. (5) tenglik va limit xossasiga asosan
S
n
va
S
n
(
m
)
xususiy yig‘indilar limiti bir-biridan o‘zgarmas
S
(
m
) soniga farq qiladi. Demak,
S
n
va
S
n
(
m
) xususiy yig‘indilarning limitlari bir paytda yoki chekli (bunda ikkala qator
yaqinlashuvchi), yoki cheksiz yoki mavjud emas (bunda ikkala qator uzoqlashuvchi)
bo‘ladi. Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremadan sonli qatorning chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish yoki
unga chekli sondagi yangi hadlarni birlashtirish uning yaqinlashuvchi yoki
uzoqlashuvchiligiga ta’sir etmasligi kelib chiqadi.
2-TEOREMA:
Agar (1) sonli qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi
S
bo‘lsa, unda bu qatorning barcha hadlarini biror
C
o‘zgarmas songa ko‘paytirishdan
hosil qilingan
Cu
1
+
Cu
2
+ ∙ ∙ ∙ +
Cu
n
+ ∙ ∙ ∙ =
1
k
k
Cu
(6)
sonli qator ham yaqinlashi va uning yig‘indisi
C
ꞏ
S
bo‘ladi.
Isbot:
Agar (1) sonli qatorning
n
- xususiy yig‘indisi
S
n
bo‘lsa, (6) sonli
qatorning
n-
xususiy yig‘indisi
C
ꞏ
S
n
bo‘ladi. Bu yerdan, limit xossasiga asosan,
S
C
S
C
S
C
n
n
n
n
lim
)
(
lim
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, yaqinlashuvchi sonli qator uchun
C
o‘zgarmas ko‘paytuvchini qator
belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
4-TA’RIF:
Berilgan
1
1
va
k
k
k
k
v
u
sonli qatorlarning algebraik yig‘indisi
deb ularning mos hadlarining algebraik yig‘indilaridan hosil etilgan sonli qatorga
aytiladi.
Demak, ta’rifga asosan
1
1
1
)
(
k
k
k
k
k
k
k
v
u
v
u
.
3-TEOREMA:
Agar
)
8
(
va
)
7
(
1
1
k
k
k
k
v
u
sonli qatorlar yaqinlashuvchi va
yig‘indilari mos ravishda
S
(
u
) va
S
(
v
) bo‘lsa, u holdа ularning algebraik yig‘indisi
bo‘lmish
)
9
(
)
(
1
k
k
k
v
u
sonli qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning
yig‘indisi
S
(
u±v
)=
S
(
u
)
S
(
v
) tеnglikdan topilishi mumkin.
Isbot:
S
n
(
u
),
S
n
(
v
) vа
S
n
(
u±v
) orqali mos ravishda (7), (8) va (9) sonli
qatorlarning
n
- xususiy yig‘indilarini belgilaymiz . Undа
S
n
(
u±v
)=
S
n
(
u
)
± S
n
(
v
)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerdan, limit xossasi va sonli qator yig‘indisi ta’rifiga
asosan, teorema tasdig‘idagi tenglikka ega bo‘lamiz:
)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim
)
(
lim
v
S
u
S
v
S
u
S
v
u
S
n
n
n
n
n
n
n
n
n
)
(
)
(
)
(
v
S
u
S
v
u
S
.
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, bu teorema tasdig‘iga teskari tasdiq har doim
ham o‘rinli bo‘lmaydi. Masalan, (7) qatorda
u
n
=1+0.5
n
va (8) qatorda
v
n
=1–0.5
n
deb
olamiz. Bunda hadlari
u
n
– v
n
=
2∙ 0.5
n
bo‘lgan
(9) qator yaqinlashuvchi va yig‘indisi
S(
u
–
v
)=2, chunki uning hadlari maxraji
q
=0.5 va birinchi hadi
b
=1 bo‘lgan geometrik
progressiyani tashkil etadi (yuqoridagi (4) misolga qarang). Ammo biz ko‘rayotgan
holda (7) va (8) qatorlarning ikkalasi ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Haqiqatan ham bu
holda
n
k
n
n
n
n
n
k
n
n
u
S
u
S
n
u
S
1
,
)
5
.
0
1
(
lim
)
(
lim
)
(
5
.
0
1
)
5
.
0
1
(
)
(
n
k
n
n
n
n
n
k
n
n
v
S
v
S
n
v
S
1
.
)
5
.
0
1
(
lim
)
(
lim
)
(
5
.
0
1
)
5
.
0
1
(
)
(
Do'stlaringiz bilan baham: |
