1 Ko‘ndalang kesim og’irlik markazining koordinatalari

Masala.1. Shakllarda keltirilgan ko’ndalang kesimning nuqtasiga qo‘yilgan bo‘ylama kuch bilan siqilgan kalta sterjen uchun quyidagilar aniqlansin:
1) Ko‘ndalang kesim og’irlik markazining koordinatalari;
2) Og’irlik markazidan o’tuvchi o’qlarga nisbatan inersiya momentlari;
3) Neytral chiziq holati;
4) Ko‘ndalang kesim o‘lchamlari va kuchlanishlar ma’lum bo‘lganda ruxsat etilgan kuchning qiymati;
5) Eng katta cho‘zuvchi va siquvchi kuchlanishlar;
6) Kesim yadrosi qurilsin.
Ma’lumotlar 1-jadvaldan olinsin shifr bo’yicha.
Berilganlar: Siqilgan kalta sterjenning 1-shaklda ko‘rsatilgan 1-sxema, o‘lchami , cho‘zilish va siqilishdagi ruxsat etilgan kuchlanishlar tegishlicha va teng.

1-chizma.. Berilgan kesim yuzasi.
Echish. Berilgan murakkab kesim yuzasining og‘irlik markazini aniqlash uchun uni oddiy uchta (ikkita yuzaga ko‘rinishida olsak ham bo‘lar edi) to‘g‘ri to‘rtburchakka bo‘lamiz va har bir to‘g‘ri to‘rtburchakli yuzalarning og‘irlik markazlariga koordinata sictemalarini joylashtiramiz.
1-chizmadan ko‘rinadiki, birinchi yuzaning yuzi ikkinchi yuzaning yuzi teng ekanligi.
Tanlab olingan ixtiyoriy koordinata sistemasiga nisbatan murakkab kesimning og‘irlik markazi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlanadi:

1-chizmadan ko‘rinadiki, bunda Unda kesimning og‘irlik maorkazi koordinatalari quyidagiga teng bo‘ladi:

Bu koordinatalarni 1-chizmaga masshtabda o‘lchab qo‘yib murakkab kesimning og‘irlik markazini belgilab markaziy bosh va o‘qlarni o‘tkazamiz.
Yuzaning og‘irlik markazi koordinatalari to‘g‘ri aniqlanganligini tekshirib ko‘ramiz. Ya’ni markaziy bosh o‘qlarga nisbatan statik momentlar nolga teng bo‘lishi shart. Bu shartni tekshirib ko‘rish uchun markaziy bosh o‘qlardan oddiy kesim og‘irlik markazlaridan o‘tuvchi o‘qlargacha bo‘lgan masofalarni aniqlaymiz:
Bunda bo‘lgani uchun o‘lcham chizmada ko‘rsatilmadi.
Kesim yuzasining va markaziy bosh o‘qlarga nisbatan statik momentlari aniqlashga o‘tamiz:

Bundan haqiqatdan ham va o‘qlar, kesimning markaziy bosh o‘qlart ekanligiga ishonch hosil qildik.
Markaziy va bosh o‘qlarga nisbatan murakkab kesimning inersiya momentlarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

Bunda har bir oddiy kesimlar (to‘g‘ri to‘rtburchak) og‘irlik markazidan o‘tuvchi o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari quyidagilarga teng bo‘ladi:



Bosh inersiya radiuslarining kvadratlarini quyidagi formuladan aniqlaymiz:

1-chimadan murakkab kesimning kuch qo‘yilgan nuqtasi K polyusining markaziy o‘qlariga nisbatan koordinatalarini aniqlaymiz:

Kesimning qaysi nuqtalarida eng katta kuchlanishlar hosil bo‘lishini bilish maqsadida neytral (o‘q) chiziqning holatini aniqlaymiz. Neyteral o‘qning holati, koordinata o‘qlaridan ajratilgan kesma uzunligi bilan aniqlanadi, ya’ni

Neyteral chiziqni o‘tkazish uchun o‘qi bo‘yicha kesmani o‘qi bo‘yicha kesmani masshtabda o‘lchab qo‘yamiz. Kesmalarning uchlarini to‘g‘ri chiziq bilan tutashtiramiz, ya’ni neyteral chiziqni o‘tkazamiz. Neyteral chiziqqa parallel ravishda kesimga urinmalar o‘tkazamiz, bu urinmalar va nuqtalardan o‘tadi. Bu nuqtalarning koordinatalari quyidagicha bo‘ladi (2-chizma):

Ushbu nuqtalarda normal kuchlanishlar ekstremal qiymatlarga erishadi, chunki bu nuqtalar neyteral chiziqdan eng uzoqda joylashgan.
Masalaning mustahkamlik shartidan foydalanib va nuqtalardagi cho‘zuvchi va siquvchi kuchni aniqlaymiz:
0,688224
1,46560
Ruxsat etilgan kuch sifatida ni qabul qilamiz.
Unda neytral chiziqdan eng uzoqdagi nuqtalardagi kuchlanishlar quyidagaga teng bo‘ladi:


Kuchlanishlar epyurasini qurish uchun neyteral chiziqqa parallel qilib kesimga ikkita urinma o‘tkazamiz va neytral chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan nol (sanoq) chiziqqa kuchlanishlar miqdorini masashtabda o‘lchab qo‘yib hosil bo‘lgan bu ikki nuqtanini to‘g‘ri chiziq bilan tutashtiramiz va hosil bo‘lgan uchburchak shaklidagi epyurani shtrixlaymiz (2-chizma).
Kesim yadrosini qurish uchun kesimning konturiga , , , va neyteral chiziqlarni urinma qilib o‘tkaziladi. Neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi chizmadan olinib kesim yadrosi koordinatalarini quyidagicha hisoblab topiladi:
1. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq koordinata o‘qiga parallel bo‘lgani uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi:
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

2. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq koordinata o‘qiga parallel bo‘lgani uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi:
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

3. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq koordinata o‘qiga parallel bo‘lgani uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi:
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

2-chizma. Kuchlanish epyurasi va kesim yadrosi.
4. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq va nuqtalariga urinma ravishda o’tganligi uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi (chizmadan olinadi):
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

5. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq koordinata o‘qiga parallel bo‘lgani uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi:
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

6. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq va nuqtalariga urinma ravishda o’tganligi uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi (chizmadan olinadi):
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

Kesim yadrosining aniqlangan ushbu koordinatalarini masshtabda chizmadagi bosh koordinata o‘qlariga o‘lchab qo‘yamiz va koordinat o‘qlari ustida hosil qilingan bu to‘rtta nuqtani ketma-ketlikda to‘g‘ri chiziq bilan tutashtimiz. Chunki neyteral chiziq holatdan holatiga nuqta atrofida aylantirib o‘tkazish mumkin bo‘lganligi sababli 1 va 2 nuqtalarni to‘g‘ri chiziq bilan tutashtiramiz va hakoza. Hosil qilingan bu yopiq kichik soha kesim yadrosini tasvirlaydi (2-chizma).

5-XGI ishi topshirig’i bo‘yicha namuna.

Масалв 2.
Shakllarda keltirilgan ko’ndalang kesimning nuqtasiga qo‘yilgan bo‘ylama kuch bilan siqilgan kalta sterjen uchun quyidagilar aniqlansin:
1) Ko‘ndalang kesim og’irlik markazining koordinatalari;
2) Og’irlik markazidan o’tuvchi o’qlarga nisbatan inersiya momentlari;
3) Neytral chiziq holati;
4) Ko‘ndalang kesim o‘lchamlari va kuchlanishlar ma’lum bo‘lganda ruxsat etilgan kuchning qiymati;
5) Eng katta cho‘zuvchi va siquvchi kuchlanishlar;
6) Kesim yadrosi qurilsin.
Ma’lumotlar 1-jadvaldan olinsin shifr bo’yicha.
Berilganlar: Siqilgan kalta sterjenning 1-shaklda ko‘rsatilgan 1-sxema, o‘lchami , cho‘zilish va siqilishdagi ruxsat etilgan kuchlanishlar tegishlicha va teng.

1-chizma.. Berilgan kesim yuzasi.
Echish. Berilgan murakkab kesim yuzasining og‘irlik markazini aniqlash uchun uni oddiy uchta (ikkita yuzaga ko‘rinishida olsak ham bo‘lar edi) to‘g‘ri to‘rtburchakka bo‘lamiz va har bir to‘g‘ri to‘rtburchakli yuzalarning og‘irlik markazlariga koordinata sictemalarini joylashtiramiz.
1-chizmadan ko‘rinadiki, birinchi yuzaning yuzi ikkinchi yuzaning yuzi va uchinchi yuzaning yuzi teng ekanligi.
Tanlab olingan ixtiyoriy koordinata sistemasiga nisbatan murakkab kesimning og‘irlik markazi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlanadi:

1-chizmadan ko‘rinadiki, bunda
Unda kesimning og‘irlik maorkazi koordinatalari quyidagiga teng bo‘ladi:

Bu koordinatalarni 1-chizmaga masshtabda o‘lchab qo‘yib murakkab kesimning og‘irlik markazini belgilab markaziy bosh va o‘qlarni o‘tkazamiz.
YUzaning og‘irlik markazi koordinatalari to‘g‘ri aniqlanganligini tekshirib ko‘ramiz. YA’ni markaziy bosh o‘qlarga nisbatan statik momentlar nolga teng bo‘lishi shart. Bu shartni tekshirib ko‘rish uchun markaziy bosh o‘qlardan oddiy kesim og‘irlik markazlaridan o‘tuvchi o‘qlargacha bo‘lgan masofalarni aniqlaymiz:

Bunda bo‘lgani uchun o‘lcham chizmada ko‘rsatilmadi.
Kesim yuzasining va markaziy bosh o‘qlarga nisbatan statik momentlari aniqlashga o‘tamiz:

Bundan haqiqatdan ham va o‘qlar, kesimning markaziy bosh o‘qlart ekanligiga ishonch hosil qildik.
Markaziy va bosh o‘qlarga nisbatan murakkab kesimning inersiya momentlarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

Bunda har bir oddiy kesimlar (to‘g‘ri to‘rtburchak) og‘irlik markazidan o‘tuvchi o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari quyidagilarga teng bo‘ladi:



Bosh inersiya radiuslarining kvadratlarini quyidagi formuladan aniqlaymiz:

1-chimadan murakkab kesimning kuch qo‘yilgan nuqtasi K polyusining markaziy o‘qlariga nisbatan koordinatalarini aniqlaymiz:

Kesimning qaysi nuqtalarida eng katta kuchlanishlar hosil bo‘lishini bilish maqsadida neytral (o‘q) chiziqning holatini aniqlaymiz. Neyteral o‘qning holati, koordinata o‘qlaridan ajratilgan kesma uzunligi bilan aniqlanadi, ya’ni

Neyteral chiziqni o‘tkazish uchun o‘qi bo‘yicha kesmani o‘qi bo‘yicha kesmani masshtabda o‘lchab qo‘yamiz. Kesmalarning uchlarini to‘g‘ri chiziq bilan tutashtiramiz, ya’ni neyteral chiziqni o‘tkazamiz. Neyteral chiziqqa parallel ravishda kesimga urinmalar o‘tkazamiz, bu urinmalar va nuqtalardan o‘tadi. Bu nuqtalarning koordinatalari quyidagicha bo‘ladi (2-chizma):

Ushbu nuqtalarda normal kuchlanishlar ekstremal qiymatlarga erishadi, chunki bu nuqtalar neyteral chiziqdan eng uzoqda joylashgan.
Masalaning mustahkamlik shartidan foydalanib va nuqtalardagi cho‘zuvchi va siquvchi kuchni aniqlaymiz:


Ruxsat etilgan kuch sifatida ni qabul qilamiz.
Unda neytral chiziqdan eng uzoqdagi nuqtalardagi kuchlanishlar quyidagaga teng bo‘ladi:


Kuchlanishlar epyurasini qurish uchun neyteral chiziqqa parallel qilib kesimga ikkita urinma o‘tkazamiz va neytral chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan nol (sanoq) chiziqqa kuchlanishlar miqdorini masashtabda o‘lchab qo‘yib hosil bo‘lgan bu ikki nuqtanini to‘g‘ri chiziq bilan tutashtiramiz va hosil bo‘lgan uchburchak shaklidagi epyurani shtrixlaymiz (2-chizma).
Kesim yadrosini qurish uchun kesimning konturiga , , , va neyteral chiziqlarni urinma qilib o‘tkaziladi. Neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi chizmadan olinib kesim yadrosi koordinatalarini quyidagicha hisoblab topiladi:
1. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq koordinata o‘qiga parallel bo‘lgani uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi:
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

2. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq koordinata o‘qiga parallel bo‘lgani uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi:
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

3. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq koordinata o‘qiga parallel bo‘lgani uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi:
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:


2-chizma. Kuchlanish epyurasi va kesim yadrosi.
4. Kesimning konturiga o‘tkazilgan neytral chiziq koordinata o‘qiga parallel bo‘lgani uchun neyteral chiziqlarning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari uzunligi quyidagiga teng bo‘ladi:
Unda kesim yadrosi koordinatalarini quyidagi formulalardan aniqlaymiz:

Kesim yadrosining aniqlangan ushbu koordinatalarini masshtabda chizmadagi bosh koordinata o‘qlariga o‘lchab qo‘yamiz va koordinat o‘qlari ustida hosil qilingan bu to‘rtta nuqtani ketma-ketlikda to‘g‘ri chiziq bilan tutashtimiz. CHunki neyteral chiziq holatdan holatiga nuqta atrofida aylantirib o‘tkazish mumkin bo‘lganligi sababli 1 va 2 nuqtalarni to‘g‘ri chiziq bilan tutashtiramiz va hakoza. Hosil qilingan bu yopiq kichik soha kesim yadrosini tasvirlaydi (2-chizma).
Масала 3.

5-ХГИ иши топшириғи бўйича намуна.
Масала 4. Шаклларда келтирилган кўндаланг кесимнинг нуқтасига қўйилган бўйлама куч билан сиқилган калта стержен учун қуйидагилар аниқлансин:
1) Кўндаланг кесим оғирлик марказининг координаталари;
2) Оғирлик марказидан ўтувчи ўқларга нисбатан инерсия моментлари;
3) Нейтрал чизиқ ҳолати;
4) Кўндаланг кесим ўлчамлари ва кучланишлар маълум бўлганда рухсат этилган кучнинг қиймати;
5) энг катта чўзувчи ва сиқувчи кучланишлар;
6) Кесим ядроси қурилсин.
Маълумотлар 1-жадвалдан олинсин шифр бўйича.
Берилганлар: Сиқилган калта стерженнинг 1-шаклда кўрсатилган 1-схема, ўлчами , чўзилиш ва сиқилишдаги рухсат этилган кучланишлар тегишлича ва тенг.

1-чизма. Берилган кесим юзаси
Ечиш. Берилган мураккаб кесим юзасининг оғирлик марказини аниқлаш учун уни оддий учта (иккита юзага кўринишида олсак ҳам бўлар эди) тўғри тўртбурчакка бўламиз ва ҳар бир тўғри тўртбурчакли юзаларнинг оғирлик марказларига координата сиcтемаларини жойлаштирамиз.
1-чизмадан кўринадики, биринчи юзанинг юзи иккинчи юзанинг юзи тенг эканлиги.
Танлаб олинган ихтиёрий координата системасига нисбатан мураккаб кесимнинг оғирлик маркази координаталарини қуйидаги формулалардан аниқланади:

1-чизмадан кўринадики, бунда
Унда кесимнинг оғирлик маоркази координаталари қуйидагига тенг бўлади:

Бу координаталарни 1-чизмага масштабда ўлчаб қўйиб мураккаб кесимнинг оғирлик марказини белгилаб марказий бош ва ўқларни ўтказамиз.
Юзанинг оғирлик маркази координаталари тўғри аниқланганлигини текшириб кўрамиз. Яъни марказий бош ўқларга нисбатан статик моментлар нолга тенг бўлиши шарт. Бу шартни текшириб кўриш учун марказий бош ўқлардан оддий кесим оғирлик марказларидан ўтувчи ўқларгача бўлган масофаларни аниқлаймиз:

Бунда бўлгани учун ўлчам чизмада кўрсатилмади.
Кесим юзасининг ва марказий бош ўқларга нисбатан статик моментлари аниқлашга ўтамиз:

Бундан ҳақиқатдан ҳам ва ўқлар, кесимнинг марказий бош ўқларт эканлигига ишонч ҳосил қилдик.
Марказий ва бош ўқларга нисбатан мураккаб кесимнинг инерсия моментларини қуйидаги формулалардан аниқлаймиз:

Бунда ҳар бир оддий кесимлар (тўғри тўртбурчак) оғирлик марказидан ўтувчи ўқларига нисбатан инерсия моментлари қуйидагиларга тенг бўлади:


Бош инерсия радиусларининг квадратларини қуйидаги формуладан аниқлаймиз:

1-чимадан мураккаб кесимнинг куч қўйилган нуқтаси А полюсининг марказий ўқларига нисбатан координаталарини аниқлаймиз:
Кесимнинг қайси нуқталарида энг катта кучланишлар ҳосил бўлишини билиш мақсадида нейтрал (ўқ) чизиқнинг ҳолатини аниқлаймиз. Нейтерал ўқнинг ҳолати, координата ўқларидан ажратилган кесма узунлиги билан аниқланади, яъни

Нейтерал чизиқни ўтказиш учун ўқи бўйича кесмани ўқи бўйича кесмани масштабда ўлчаб қўямиз. Кесмаларнинг учларини тўғри чизиқ билан туташтирамиз, яъни нейтерал чизиқни ўтказамиз. Нейтерал чизиққа параллел равишда кесимга уринмалар ўтказамиз, бу уринмалар ва нуқталардан ўтади. Бу нуқталарнинг координаталари қуйидагича бўлади (2-чизма):

Ушбу нуқталарда нормал кучланишлар экстремал қийматларга эришади, чунки бу нуқталар нейтерал чизиқдан энг узоқда жойлашган.
Масаланинг мустаҳкамлик шартидан фойдаланиб ва нуқталардаги чўзувчи ва сиқувчи кучни аниқлаймиз:


Рухсат этилган куч сифатида ни қабул қиламиз.
Унда нейтрал чизиқдан энг узоқдаги нуқталардаги кучланишлар қуйидагага тенг бўлади:

Кучланишлар эпюрасини қуриш учун нейтерал чизиққа параллел қилиб кесимга иккита уринма ўтказамиз ва нейтрал чизиққа перпендикуляр бўлган нол (саноқ) чизиққа кучланишлар миқдорини масаштабда ўлчаб қўйиб ҳосил бўлган бу икки нуқтанини тўғри чизиқ билан туташтирамиз ва ҳосил бўлганучбурчак шаклидаги эпюрани штрихлаймиз (2-чизма).
Кесим ядросини қуриш учун кесимнинг контурига , , , ва нейтерал чизиқларни уринма қилиб ўтказилади. Нейтерал чизиқларнинг координата ўқларидан ажратган кесмалари узунлиги чизмадан олиниб кесим ядроси координаталарини қуйидагича ҳисоблаб топилади:
1. Кесимнинг контурига ўтказилган нейтрал чизиқ координата ўқига параллел бўлгани учун нейтерал чизиқларнинг координата ўқларидан ажратган кесмалари узунлиги қуйидагига тенг бўлади:
Унда кесим ядроси координаталарини қуйидаги формулалардан аниқлаймиз:

2. Кесимнинг контурига ўтказилган нейтрал чизиқ координата ўқига параллел бўлгани учун нейтерал чизиқларнинг координата ўқларидан ажратган кесмалари узунлиги қуйидагига тенг бўлади:
Унда кесим ядроси координаталарини қуйидаги формулалардан аниқлаймиз:

3. Кесимнинг контурига ўтказилган нейтрал чизиқ координата ўқига параллел бўлгани учун нейтерал чизиқларнинг координата ўқларидан ажратган кесмалари узунлиги қуйидагига тенг бўлади:
Унда кесим ядроси координаталарини қуйидаги формулалардан аниқлаймиз:

4. Кесимнинг контурига ўтказилган нейтрал чизиқ координата ўқига параллел бўлгани учун нейтерал чизиқларнинг координата ўқларидан ажратган кесмалари узунлиги қуйидагига тенг бўлади:

Унда кесим ядроси координаталарини қуйидаги формулалардан аниқлаймиз:

5. Кесимнинг контурига ўтказилган нейтрал чизиқ

Кесим ядросининг аниқланган ушбу координаталарини масштабда чизмадаги бош координата ўқларига ўлчаб қўямиз ва координат ўқлари устида ҳосил қилинган бу тўртта нуқтани кетма-кетликда тўғри чизиқ билан туташтимиз. Чунки нейтерал чизиқ ҳолатдан ҳолатига нуқта атрофида айлантириб ўтказиш мумкин бўлганлиги сабабли 1 ва 2 нуқталарни тўғри чизиқ билан туташтирамиз ва ҳакоза. Ҳосил қилинган бу ёпиқ кичик соҳа кесим ядросини тасвирлайди (2-чизма).