|
Uch karrali integrallarning ba’zi tadbiqlari.
Uch karrali integral yordamida
fazodagi
jismlarning xajmini, massali jismning massasini, og’irlik markazini, inertsiya momentlarini topish mumkin.
Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallarning ta’rifi, ularning xossalari va ularni hisoblash.
Grin formulasi. Egri chiziqli integral yordamida yuzani hisoblash. Egri chiziqli integrallarning
integrallash yuliga bog‘liq bo’lmasligi sharti. Egri chiziqli integrallarni geometriya va mexanika
masalalarini echishga tadbiqlari.
1-TUR VA 2- TUR EGRI CHIZIQLI INTEGRALLAR.
REJA
Birinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi va uni hisoblash.
Birinchi tur egri chiziqli integrallarning ba’zi tatbiqlari
Ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi va uni hisoblash.
w
v
u
z
w
v
u
y
w
v
u
x
,
,
,
,
,
,
,
,
3
R
V
dudvdw
J
w
v
u
w
v
u
w
v
u
f
dzdydz
z
y
x
f
V
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
dw
dz
dv
dz
du
dz
dw
dy
dv
dy
du
dy
dw
dx
dv
dx
du
dx
J
z
y
x
,
,
z
p
,
,
cos
p
x
sin
p
y
z
z
z
p
,
2
0
,
0
p
J
dz
pdpd
z
p
p
f
dxdydz
z
y
x
f
V
,
sin
,
cos
,
,
z
y
x
,
,
,
,
p
cos
sin
p
x
sin
sin
p
y
cos
p
z
0
,
2
0
,
0
p
sin
2
p
J
d
dpd
p
p
p
p
f
dxdydz
z
y
x
f
V
V
sin
cos
,
sin
sin
,
cos
sin
,
,
2
3
R
Ikkinchi tur egri chiziqli integralning ba’zi tadbiqlari
Grin formulasi
.
Tayanch iboralar
Egri chiziq, egri chiziqli integral, integral, Grin formulasi, uzluksiz, tekislik, integral yig’indi.
Birinchi tur egri chiziqli integral tushunchasi va uni hisoblash.
Tekislikda sodda uzunlikka ega
bo’lgan
egri chiziqni qaraylik.
Bu egri chiziqda A dan V ga qarab yo’nalishni musbat yo’nalish deb, uning
nuqtalar yordamida hosil qilingan
bo’laklashini olamiz. Natijada
egri chiziq
bo’lakchalarga ajraladi. Uning uzunligini
deyilsa
bo’laklashning diametri
bo’ladi.
Aytaylik, bu
egri chiziqda
funktsiya aniqlangan bo’lsin.
Har bir
da ixtiyoriy
nuqtani olib, so’ng bu nuqtadagi
funktsiyaning qiymati
ni
ga ko’paytirib ushbu
yig’indini hosil qilamiz.
Ta’rif.
Agar
olinganda ham shunday
son topilsaki,
egri chiziqning diametri
bo’lgan har qanday
bo’laklash uchun tuzilgan
yig’indi ixtiyoriy
nuq-
talarda
tengsizlikni bajarsa,
funktsiya
egri chiziq bo’yicha integrallanuvchi deyilib,
son esa
funktsiyaning
egri chiziq bo’yicha birinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi. U
kabi belgilanadi. Demak
.
Keltirilgan ta’rifdan ko’rinadiki,
funktsiyaning birinchi tur egri chiziqli integrali
egri chiziqning yo’nalishiga bog’liq bo’lmaydi.
B
A
)
,
(
,
,...,
,
0
1
1
0
B
A
A
A
A
A
A
A
n
n
n
}
,
,...,
,
{
1
1
0
n
n
A
A
A
A
P
B
A
1
k
k
A
A
)
1
,...,
2
,
1
,
0
(
n
k
(
0,1,2,...,
1)
k
S
k
n
P
max{
}
p
k
k
S
B
A
)
,
(
y
x
f
).
)
,
((
B
A
y
x
1
k
k
A
A
)
,
(
k
k
)
,
(
y
x
f
)
,
(
k
k
f
k
S
1
0
( , )
n
k
k
k
k
f
S
0
0
B
A
p
P
1
)
,
(
k
k
k
k
A
A
J
)
,
(
y
x
f
B
A
J
)
,
(
y
x
f
B
A
B
A
ds
y
x
f
)
,
(
1
0
0
,
lim
,
n
k
k
k
k
B
A
S
f
ds
y
x
f
p
)
,
(
y
x
f
B
A
.
Birinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan ko’rinadiki, u berilgan
funktsiya va
egri
chiziqqa bog’liq bo’ladi.
Faraz qilaylik,
sodda silliq egri chiziq ushbu
tenglamalar sitemasi bilan aniqlangan va
bo’lsin. SHu egri chiziqda
funktsiya berilgan.
Teorema.
Agar
funktsiya
da uzluksiz bo’lsa, u holda birinchi tur egri chiziqli
integral
mavjud bo’lib,
bo’ladi.
1-natija.
Aytaylik,
egri chiziq
tenglama bilan aniqlangan bo’lib,
funktsiya
da uzluksiz hamda uzluksiz
hosilaga ega bo’lsin (
).
Agar
funktsiya esa shu
egri chiziqda uzluksiz bo’lsa,
birinchi tur
egri chiziqli integral mavjud bo’lib
(4)
bo’ladi.
2-Natija.
Aytaylik,
egri chiziq qutb koordinatalri sistemasida
tenglama bilan aniqlangan bo’lsin, bunda
funktsiya
segmentda uzluksiz va uzluksiz
hosilaga ega. Bu egri chiziqda
funktsiya aniqlangan va uzluksiz. U holda
birinchi tur egri chiziqli integral mavjud bo’lib
(5)
bo’ladi.
Birinchi tur egri chiziqli integrallarning ba’zi tatbiqlari.
Birinchi tur egri chiziqli integrallar
yordamida egri chiziqning uzunligini, jismning massasini, og’irlik markazini, inertsiya momentlarini topish
kabi masalalar hal etiladi.
1. Tekislikda uzunlikka ega bo’lgan
egri chiziqning uzunligi ushbu
(6)
integral yordamida topiladi.
2. Tekislikda uzunlikka ega bo’lgan
egri chizig’i bo’yicha massa tarqatilgan bo’lib, uning
zichligi
bo’lsin. Bu egri chiziqning massasi ushbu
B
A
A
B
ds
y
x
f
ds
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
y
x
f
B
A
B
A
)
(
)
(
),
(
t
t
y
y
t
x
x
))
(
),
(
(
)),
(
),
(
(
y
x
B
y
x
A
)
,
(
y
x
f
)
,
(
y
x
f
B
A
B
A
ds
y
x
f
)
,
(
dt
t
y
t
x
t
y
t
x
f
ds
y
x
f
B
A
)
(
)
(
))
(
),
(
(
)
,
(
2
2
B
A
)
(
x
y
y
)
(
b
x
a
)
(
x
y
]
,
[
b
a
)
(
x
y
B
b
y
A
a
y
,
)
,
(
y
x
f
B
A
B
A
ds
y
x
f
)
,
(
dx
x
y
x
y
x
f
ds
y
x
f
B
A
b
a
)
(
1
))
(
,
(
)
,
(
2
B
A
)
(
)
(
)
(
]
,
[
)
,
(
y
x
f
B
A
ds
y
x
f
)
,
(
d
f
ds
y
x
f
B
A
2
2
)
sin
,
cos
(
)
,
(
B
A
,
B
A
ds
S
B
A
)
,
(
y
x
1
k
y
(7)
og’irlik markazining koordinatalari esa quyidagi
(8)
integrallar yordamida topiladi.
3. Tekislikda uzunlikka ega bo’lgan
egri chiziqning
va
koordinata o’qlariga nisbatan
statik momentlari ushbu
(9)
formula bilan, shu o’qlarga nisbatan inertsiya momentlari esa quyidagi
(10)
inegrallar yordamida topiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
