geometrik va mexanik ma’nosi. Ikki va uch o’lchovli
integralni hisoblash. Ikki va uch karrali integralda
o’zgaruvchilarni almashtirish.
Ikki o’lchovli integralni qutb koordinatalar sistemasida
hisoblash. Ikki va uch o’lchovli integrallarning
geometriya va mexanikaga tadbiqi.
IKKI O‘ZGARUVCHILI FUNKSIYANING EKSTRЕMUMLARI
REJA
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstr
е
mumlari
.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning global ekstremumlari.
Eng kichik kvadratlar usuli.
Tayanch iboralar
*
Lokal maksimum
*
Lokal minimum *
Lokal ekstremum *
Ferma teoremasi
*
Kritik nuqta * Ekstremumning yetarli sharti * Ekstremumga tekshirish algoritmi
*Bog‘lanish tenglamasi * Shartli lokal maxsimum
*
Shartli lokal minimum
*
Shartli lokal ekstremum * Lagrang funksiyasi
*
Global maksimum * Global minimum * Global
ekstremum * Kuzatuv
natijalarini silliqlash
*
Empirik formulalar * Eng kichik kvadratlar usuli
3.3.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari.
Berilgan
z
=
f
(
x
,
y
)
funksiya
tekislikdagi biror
D
sohada aniqlangan bo‘lib,
M
0
(
x
0
,
y
0
) bu sohaning ichki nuqtasi bo‘lsin.
1-TA’RIF:
Agar
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning biror
U
r
(
x
0
,
y
0
) atrofiga tegishli ixtiyoriy
M
(
х
,
у
) nuqta uchun
f
(
x
0
,
y
0
)≥
f
(
x
,
y
) [
f
(
x
0
,
y
0
)≤
f
(
x
,
y
)] (1)
tengsizlik
bajarilsa, unda
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
)
nuqtada
lokal maksimumga
(
minimumga
)
ega
deyiladi.
Masalan,
f
(
x
,
y
)=4–
x
2
–
y
2
funksiya
M
0
(0,0) nuqtada lokal maksimumga ega, chunki bu nuqtaning
ixtiyoriy atrofidagi
M
(
х
,
у
) nuqtalar uchun
f
(
x
,
y
)≥4=
f
(0,0).
Xuddi shunday
g
(
x
,
y
)=4+
x
2
+
y
2
funksiya
M
0
(0,0)
nuqtada
g
(0,0)=4 lokal minimumga ega ekanligi ko‘rsatiladi.
1-ta’rifda
f
(
x
0
,
y
0
)≥
f
(
x
,
y
) [
f
(
x
0
,
y
0
)≤
f
(
x
,
y
)] tengsizlik faqat
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning biror kichik atrofida
bajarilishi talab etiladi. Bu tengsizlik, biz yuqorida ko‘rgan misoldagi singari,
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning ixtiyoriy
atrofida o‘rinli bo‘lishi shart emas. Shu sababli
f
(
x
0
,
y
0
) lokal maksimum yoki minimum deb atalmoqda.
Agar (1) tengsizlikda
x=x
0
+∆
x
va
y=y
0
+∆
y
deb olsak, uni lokal maksimum holida
0
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
f
y
x
f
y
y
x
x
f
y
y
x
x
f
y
x
f
,
lokal minimum holida esa ∆
f
≥0 ko‘rinishda yozish mumkin. Shu sababli 1-ta’rifni funksiyaning to‘la
orttirmasi orqali quyidagicha ifodalash mumkin.
2-TA’RIF:
Agar
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtaning biror
U
r
(
x
0
,
y
0
) atrofida
z
=
f
(
x
,
y
)
funksiyaning to‘la orttirmasi uchun ∆
f
(
x
0
,
y
0
)
≤0 (∆
f
(
x
0
,
y
0
)
≥0) tengsizlik bajarilsa, unda bu funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada
lokal maksimumga
(
minimumga
)
ega deyiladi.
3-TA’RIF:
Funksiyaning lokal maksimum va minimumlari birgalikda
funksiyaning lokal
ekstr
е
mumlari
deyiladi.
2-ta’rifga asosan funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada lokal ekstremumga ega bo‘lishi uchun uning bu nuqtadagi
∆
f
(
x
0
,
y
0
) to‘la orttirmasi ∆
x
va ∆
y
argument orttimalarining turli kichik qiymatlarida o‘z ishorasini
o‘zgartirmasligi lozim.
Yuqoridagi misolda ko‘rib o‘tilgan
f
(
x
,
y
)=4–
x
2
–
y
2
va
g
(
x
,
y
)=4+
x
2
+
y
2
funksiyalar uchun lokal
ekstremumlar
f
(
x
,
y
) va
g
(
x
,
y
) ifodalari bo‘yicha bevosita topildi. Ammo murakkabroq ko‘rinishdagi
funksiyalar uchun bunday qilib bo‘lmaydi. Shu sababli umumiy holda ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal
ekstrimumlarini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin (VI
bob,§5) ko‘rilgan edi. Bu yerda
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyani ekstremumga tekshirish ham shunga o‘xshash amalga
oshirilishini ko‘ramiz.
1-TEOREMA
(
Ferma teoremasi
):
Agar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada lokal ekstrеmumga
erishsa va bu nuqtada uning ikkala xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda ular nolga tеng bo‘ladi, ya’ni
0
)
,
(
0
)
,
(
0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
(2)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Isbot:
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyada
y=y
0
deb olamiz va bunda hosil bo‘ladigan bir o‘zgaruvchili
h
(
x
)=
f
(
x
,
y
0
)
funksiyani qaraymiz. Teorema shartiga ko‘ra bu funksiya
x=x
0
nuqtada lokal ekstremumga ega va uning
hosilasi
)
,
(
)
(
0
y
x
f
x
h
x
mavjud. Unda, bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin isbotlangan Ferma
teoremasiga asosan (VII bob,§5),
0
)
,
(
)
(
0
0
0
y
x
f
x
h
x
ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday tarzda
0
)
,
(
0
0
y
x
f
y
tenglik o‘rinli ekanligi ko‘rsatiladi va teoremaning isboti yakunlanadi.
Bu
teorema
ekstremumning zaruriy shartini
ifodalaydi va undan ushbu natija kelib chiqadi.
NATIJA:
Agar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada lokal ekstrеmumga erishsa va differensiallanuvchi
bo‘lsa, unda bu nuqtada uning differensiali
df
(
x
0
,
y
0
)=0 va gradienti grad
f
(
x
0
,
y
0
)=0 bo‘ladi.
Bu tasdiq bevosita (2) tengliklardan va differensial, gradient ta’riflaridan kelib chiqadi.
Masalan, yuqorida ko‘rilgan
f
(
x
,
y
)=4–
x
2
–
y
2
funksiya uchun haqiqatan ham u lokal maksimumga
erishadigan
M
0
(0,0) nuqtada
0
)
0
,
0
(
,
0
)
0
,
0
(
0
2
)
0
,
0
(
,
0
2
)
0
,
0
(
0
0
0
0
f
df
y
f
x
f
y
x
y
y
x
x
grad
tengliklar bajariladi.
(2) tengliklar lokal ekstremumning faqat
zaruriy shartini ifodalab, lokal ekstremum bo‘lishi uchun
yetarli emas.
Masalan,
f
(
x
,
y
)=
x
2
–
y
2
differensiallanuvchi funksiya grafigi 88-rasmda ko‘rsatilgan sirtdan iborat.
Bu funksiya uchun O(0,0) nuqtada (2) tengliklar bajariladi, ammo bu nuqtada funksiya lokal ekstremumga
ega emas. Haqiqatan ham bu holda to‘la orttirma
2
2
)
,
(
)
0
,
0
(
)
0
,
0
(
y
x
y
x
f
f
y
x
f
f
ko‘rinishda bo‘lib, ∆
x
>∆
y
bo‘lganda musbat, ∆
x
<∆
y
holda esa manfiy qiymat qabul etadi. Demak, O(0,0)
nuqtaning ixtiyoriy atrofida ∆
f
(0, 0) to‘la orttirma o‘z ishorasini o‘zgartiradi va shu sababli bu nuqtada lokal
ekstremum mavjud emas.
Bu funksiyaning grafigi bo‘lmish sirt quyidagi chizmada ko‘rsatilgan va unda
O(0,0) nuqta
egar nuqta
deb ataladi. Sirtlar uchun egar nuqta egri chiziqlar uchun burilish nuqtasiga
o‘xshash xususiyatga ega bo‘ladi.
4-TA’RIF:
Agar
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda (2) tengliklarni
qanoatlantiruvchi
nuqtalar bu funksiyaning
Do'stlaringiz bilan baham: 
