|
kritik yoki statsionar nuqtalari
deb ataladi.
Ferma teoremasidan funksiya lokal ekstremumlariga kritik nuqtalarida erishishi mumkinligi kelib
chiqadi. Shu sababli funksiyani ekstremumga tekshirish uchun birinchi navbatda uning kritik nuqtalarini
topish kerak. Agar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uchun
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqta bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada yoki lokal
maksimumga, yoki lokal minimumga ega yoki umuman lokal ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. Shu
sababli
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqta bu xususiyatlardan qaysi biriga ega ekanligini aniqlash masalasi paydo bo‘ladi.
Bu masala ekstremumning yetarli shartini topish orqali hal etiladi. Buning uchun
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
)
kritik nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz hamda uzluksiz I va II tartibli hosilalarga ega deb
hisoblaymiz. Quyidagi belgilashlar kiritamiz:
2
0
0
0
0
0
0
,
)
,
(
,
)
,
(
,
)
,
(
B
AC
C
B
B
A
y
x
f
C
y
x
f
B
y
x
f
A
yy
xy
xx
. (3)
2-TEOREMA(Ekstr
е
mumning yetarli shartlari):
Agar
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uchun
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik
nuqta bo‘lsa, unda (3) belgilashlarda quyidagi tasdiqlar o‘rinli :
1. ∆>0,
A>
0 holda funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqtada lokal minimumga ega;
2. ∆>0,
A<
0 holda funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqtada lokal maksimumga ega;
3. ∆<0 holda funksiya
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqtada lokal ekstremumga ega emas.
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Izoh:
Agar ∆=0 bo‘lsa funksiyaning
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqtadagi xususiyatini bu teorema orqali aniqlab
bo‘lmaydi. Bu holda javob funksiyaning ∆
f
(
x
0
,
y
0
) to‘la orttirmasining ishorasini tekshirish orqali topiladi.
Shunday qilib ikki o‘zgaruvchili
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyani ekstremumga tekshirish quyidagi algoritm asosida
amalga oshiriladi:
funksiyaning
)
,
(
,
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
xususiy hosilalari hisoblanadi;
xususiy hosilalar nolga tenglashtirilib,
0
)
,
(
0
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
tenglamalar sistemasi hosil etiladi;
hosil etilgan tenglamalar sistemasi yechilib, funksiyaning kritik nuqtalari topiladi. Agar kritik
nuqtalar mavjud bo‘lmasa, unda funksiya ekstremumga ega bo‘lmaydi;
funksiyaning II tartibli hosilalari topiladi;
kritik nuqtada (3) formulalar bo‘yicha
A
,
B
,
C
va ∆ qiymatlari hisoblanadi;
A
,
B
,
C
va ∆ qiymatlari bo‘yicha kritik nuqtada funksiyaning xususiyati 2-teorema yordamida
aniqlanadi.
Misol sifatida,
f
(
x
,
y
) =
x
2
+
xy
+
y
2
–3
x
– 6
y
funksiyani ekstrеmumga tekshiramiz. Bu holda
6
2
)
,
(
,
3
2
)
,
(
x
y
y
x
f
y
x
y
x
f
y
x
bo‘lib, ulardan tuzilgan
0
6
2
0
3
2
y
x
y
x
tenglamalar sistemasidan
M
0
(0,3) kritik nuqtani topamiz. Bu yerda
2
)
,
(
,
1
)
,
(
,
2
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
f
yy
xy
xx
bo‘lgani uchun
A=
2 ,
B
=1 ,
C=
2 va ∆=
AC–B
2
=3 ekanligini ko‘ramiz.
Bunda ∆>0 ,
A
>0 va shu sababli,ekstremumning yetarli shartiga asosan, bu funksiya
M
0
(0,3) kritik nuqta
lokal minimumga ega va
f
min
=f
(0,3)=3
2
–18=–9 bo‘ladi.
Ikki o‘zgaruvchili funksiya lokal ekstremumiga doir ushbu iqtisodiy mazmunli masalani qaraymiz.
Masala:
Ishlab chiqarish funksiyasi pul birligida ifodalanib,
6
2
3
30
)
,
(
y
x
y
x
f
ko‘rinishga ega.
Bunda
x
–I xomashyo ,
y
–II xomashyo birliklari miqdorini ifodalaydi. I xomashyo bir birligining qiymati – 5,
II xomashyoniki esa–10 pul birligiga teng. Bu xomashyolardan foydalanish natijasida erishiladigan
foydaning maksimal qiymatini toping.
Yechish:
Bizga ma’lumki, ishlab chiqarish funksiyasi
f
(
x
,
y
) xomashyolardan foydalanish natijasida
olingan daromadni ifodalaydi. Bunda, masala shartiga asosan, xomashyolar uchun qilingan xarajatlar
g
(
x
,
y
)=5
x
+10
y
ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali topiladi. Shu sababli xomashyolardan foydalanish natijasida
olingan foyda ushbu
F
(
x
,
y
)=
f
(
x
,
y
)–
g
(
x
,
y
)=30
x
1/2
y
1/3
–5
x
–10
y
ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali aniqlanadi. Bu funksiyani yuqorida ko‘rsatilgan algoritm bo‘yicha
ekstremumga tekshiramiz. Bu yerda xususiy hosilalar
10
10
)
,
(
,
5
15
)
,
(
3
/
2
2
/
1
3
/
1
2
/
1
y
x
y
x
F
y
x
y
x
F
y
x
.
Bu xususiy hosilalarni nolga tenglashtirib, ushbu tenglamalar sistemasiga kelamiz va uni yechamiz:
27
81
9
1
3
3
1
1
3
3
/
2
3
/
2
3
/
1
3
/
1
2
/
1
3
/
2
2
/
1
3
/
1
2
/
1
y
y
x
y
y
y
x
y
x
y
x
.
Demak,
M
0
(81,27) kritik nuqta bo‘ladi. Bu kritik nuqtani II tartibli hosilalar yordamida tekshiramiz:
,
162
5
3
9
1
2
15
)
27
,
81
(
2
15
)
,
(
3
3
/
1
2
/
3
xx
xx
F
A
y
x
y
x
F
,
81
5
9
1
9
1
5
)
27
,
81
(
5
)
,
(
)
,
(
3
/
2
2
/
1
xy
yx
xy
F
B
y
x
y
x
F
y
x
F
,
81
20
243
1
9
3
20
)
27
,
81
(
3
20
)
,
(
3
/
5
2
/
1
xx
xx
F
C
y
x
y
x
F
0
)
81
5
(
81
25
50
)
81
5
(
)
81
20
)(
162
5
(
2
2
2
2
B
AC
.
Bu kritik nuqtada ∆>0,
A
<0 bo‘lgani uchun unda foydani ifodalovchi
F
(
x
,
y
) funksiya maksimumga ega
bo‘ladi maksimal foyda qiymati pul birligida
135
27
10
81
5
3
9
30
)
27
,
81
(
F
bo‘ladi.
3.4.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning shartli ekstrеmumlari
. Oldingi qismda
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyani
ekstremumga tekshirishda uning
x
va
y
argumentlari butun
D
{
f
} aniqlanish sohasida qaralgan edi. Ammo bir
qator masalalarni yechishda
x
va
y
argumentlarni faqat ma’lum bir shartni qanoatlantiradigan qiymatlarida
funksiya ekstremumini topishga to‘g‘ri keladi.
Masalan, perimetri 2
p
bo‘lgan barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasidan yuzi eng katta bo‘lganini topish
masalasini qaraymiz. Agar to‘g‘ri to‘rtburchak tomonlarini
x
va
y
deb olsak, bu masala
S
(
x
,
y
)=
xy
funksiyaning uning argumentlari 2(
x+y
)=2
p
yoki
x+y=p
shartni qanoatlantirganda, ya’ni
y=–x+p
tenglamali
to‘g‘ri chiziqda yotganda, ekstremumini topish masalasiga keladi. Bu masala yechimini quyidagicha
topamiz:
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
2
x
g
x
px
x
p
x
y
x
S
x
p
y
xy
y
x
S
4
)
2
(
2
)
(
2
0
2
)
(
2
2
0
0
p
p
p
p
x
g
p
x
x
p
x
g
.
Shunday qilib, bu masalani yechish uchun
x
va
y
argumentlarga qo‘yilgan shartdan foydalanib, ikki
o‘zgaruvchili
S
(
x
,
y
) funksiyadan bir o‘zgaruvchili
g
(
x
) funksiyaga o‘tdik va uni ekstremumga tekshirdik. Bu
yerda
g
′′(
x
)=–2<0 bo‘lgani uchun
g
(
x
) funksiya topilgan
x
0
=
p
/2 kritik nuqtada maksimumga ega bo‘ladi.
Demak, perimetri 2
p
bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasida eng katta yuzaga tomonlari
x
0
=
p
/2 =>
y
0
=
p–
p
/2=
p
/2 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak, ya’ni kvadrat erishadi va bu yuza qiymati
S
=
p
2
/4 bo‘ladi.
Endi ko‘rib o‘tilgan bu masalani umumlashtiramiz. Bizga
z=f
(
x
,
y
) ikki o‘zgaruvchili funksiya berilgan
bo‘lib, uning
x
va
y
argumentlari
D
{
f
} aniqlanish sohasida biror
φ(
x
,
y
)=0 (4)
tenglama bilan ifodalanadigan shartni qanoatlantirsin.
5-TA’RIF:
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyaning argumentlari qanoatlantiradigan (4) tenglama
Do'stlaringiz bilan baham: |
