Microsoft Word Олий матем 2-cem. Ma'Ruza маътинлари docx

1-TEOREMA
(
Ferma teoremasi
):
Agar 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada lokal ekstrеmumga 
erishsa va bu nuqtada uning ikkala xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda ular nolga tеng bo‘ladi, ya’ni 







0
)
,
(
0
)
,
(
0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
(2) 
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. 
Isbot: 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyada 
y=y
0
deb olamiz va bunda hosil bo‘ladigan bir o‘zgaruvchili 
h
(
x
)=
f
(
x
,
y
0
) 
funksiyani qaraymiz. Teorema shartiga ko‘ra bu funksiya 
x=x
0
nuqtada lokal ekstremumga ega va uning 
hosilasi 
)
,
(
)
(
0
y
x
f
x
h
x



mavjud. Unda, bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin isbotlangan Ferma 
teoremasiga asosan (VII bob,§5), 
0
)
,
(
)
(
0
0
0




y
x
f
x
h
x
ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday tarzda 
0
)
,
(
0
0


y
x
f
y
tenglik o‘rinli ekanligi ko‘rsatiladi va teoremaning isboti yakunlanadi. 
Bu teorema 
ekstremumning zaruriy shartini
ifodalaydi va undan ushbu natija kelib chiqadi. 
NATIJA:
Agar 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) nuqtada lokal ekstrеmumga erishsa va differensiallanuvchi 
bo‘lsa, unda bu nuqtada uning differensiali 
df
(
x
0
,
y
0
)=0 va gradienti grad
f
(
x
0
,
y
0
)=0 bo‘ladi. 
Bu tasdiq bevosita (2) tengliklardan va differensial, gradient ta’riflaridan kelib chiqadi.
 
Masalan, yuqorida ko‘rilgan 
f
(
x
,
y
)=4–
x
2
–
y
2
funksiya uchun haqiqatan ham u lokal maksimumga 
erishadigan 
M
0
(0,0) nuqtada 
0
)
0
,
0
(
,
0
)
0
,
0
(
0
2
)
0
,
0
(
,
0
2
)
0
,
0
(
0
0
0
0














f
df
y
f
x
f
y
x
y
y
x
x
grad
 
tengliklar bajariladi. 
(2) tengliklar lokal ekstremumning faqat zaruriy shartini ifodalab, lokal ekstremum bo‘lishi uchun 
yetarli emas. 
Masalan, 
f
(
x
,
y
)=
x
2 
–
y
2
differensiallanuvchi funksiya grafigi 88-rasmda ko‘rsatilgan sirtdan iborat.
Bu funksiya uchun O(0,0) nuqtada (2) tengliklar bajariladi, ammo bu nuqtada funksiya lokal ekstremumga 
ega emas. Haqiqatan ham bu holda to‘la orttirma 
2
2
)
,
(
)
0
,
0
(
)
0
,
0
(
y
x
y
x
f
f
y
x
f
f














ko‘rinishda bo‘lib, ∆
x
>∆
y
bo‘lganda musbat, ∆
x
<∆
y
holda esa manfiy qiymat qabul etadi. Demak, O(0,0) 
nuqtaning ixtiyoriy atrofida ∆
f
(0, 0) to‘la orttirma o‘z ishorasini o‘zgartiradi va shu sababli bu nuqtada lokal 
ekstremum mavjud emas.
Bu funksiyaning grafigi bo‘lmish sirt quyidagi chizmada ko‘rsatilgan va unda 
O(0,0) nuqta 
egar nuqta
deb ataladi. Sirtlar uchun egar nuqta egri chiziqlar uchun burilish nuqtasiga 
o‘xshash xususiyatga ega bo‘ladi.
4-TA’RIF:
Agar
z
=
f
(
x,y
) funksiyaning xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda (2) tengliklarni 
qanoatlantiruvchi nuqtalar bu funksiyaning 
kritik yoki statsionar nuqtalari
deb ataladi. 
Ferma teoremasidan funksiya lokal ekstremumlariga kritik nuqtalarida erishishi mumkinligi kelib 
chiqadi. Shu sababli funksiyani ekstremumga tekshirish uchun birinchi navbatda uning kritik nuqtalarini 
topish kerak. Agar 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uchun 
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqta bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada yoki lokal 
maksimumga, yoki lokal minimumga ega yoki umuman lokal ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. Shu 
sababli 
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqta bu xususiyatlardan qaysi biriga ega ekanligini aniqlash masalasi paydo bo‘ladi. 
Bu masala ekstremumning yetarli shartini topish orqali hal etiladi. Buning uchun 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) 
kritik nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz hamda uzluksiz I va II tartibli hosilalarga ega deb 
hisoblaymiz. Quyidagi belgilashlar kiritamiz: 
2
0
0
0
0
0
0
,
)
,
(
,
)
,
(
,
)
,
(
B
AC
C
B
B
A
y
x
f
C
y
x
f
B
y
x
f
A
yy
xy
xx










. (3) 
2-TEOREMA(Ekstr
е
mumning yetarli shartlari):
Agar 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiya uchun 
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik 
nuqta bo‘lsa, unda (3) belgilashlarda quyidagi tasdiqlar o‘rinli : 
1. ∆>0, 
A>
0 holda funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqtada lokal minimumga ega;
2. ∆>0, 
A<
0 holda funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqtada lokal maksimumga ega; 
3. ∆<0 holda funksiya 
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqtada lokal ekstremumga ega emas. 

---

Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz. 
Izoh: 
Agar ∆=0 bo‘lsa funksiyaning 
M
0
(
x
0
,
y
0
) kritik nuqtadagi xususiyatini bu teorema orqali aniqlab 
bo‘lmaydi. Bu holda javob funksiyaning ∆
f
(
x
0
,
y
0
) to‘la orttirmasining ishorasini tekshirish orqali topiladi. 
Shunday qilib ikki o‘zgaruvchili 
z
=
f
(
x
,
y
) funksiyani ekstremumga tekshirish quyidagi algoritm asosida 
amalga oshiriladi: 

funksiyaning 
)
,
(
,
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x


xususiy hosilalari hisoblanadi; 

xususiy hosilalar nolga tenglashtirilib, 







0
)
,
(
0
)
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
tenglamalar sistemasi hosil etiladi; 

hosil etilgan tenglamalar sistemasi yechilib, funksiyaning kritik nuqtalari topiladi. Agar kritik 
nuqtalar mavjud bo‘lmasa, unda funksiya ekstremumga ega bo‘lmaydi; 

funksiyaning II tartibli hosilalari topiladi; 

kritik nuqtada (3) formulalar bo‘yicha 
A
, 
B
, 
C
va ∆ qiymatlari hisoblanadi; 

A
, 
B
, 
C
va ∆ qiymatlari bo‘yicha kritik nuqtada funksiyaning xususiyati 2-teorema yordamida 
aniqlanadi. 
Misol sifatida, 
f
(
x
,
y
) = 
x
2
+ 
xy
+
y
2
–3
x
– 6
y 
funksiyani ekstrеmumga tekshiramiz. Bu holda 
6
2
)
,
(
,
3
2
)
,
(








x
y
y
x
f
y
x
y
x
f
y
x
bo‘lib, ulardan tuzilgan 









0
6
2
0
3
2
y
x
y
x
tenglamalar sistemasidan 
M
0
(0,3) kritik nuqtani topamiz. Bu yerda 
2
)
,
(
,
1
)
,
(
,
2
)
,
(






y
x
f
y
x
f
y
x
f
yy
xy
xx
bo‘lgani uchun 
A=
2 ,
B
=1 , 
C=
2 va ∆=
AC–B
2
=3 ekanligini ko‘ramiz.
Bunda ∆>0 ,
A
>0 va shu sababli,ekstremumning yetarli shartiga asosan, bu funksiya 
M
0
(0,3) kritik nuqta 
lokal minimumga ega va 
f
min
=f
(0,3)=3
2
–18=–9 bo‘ladi. 
Ikki o‘zgaruvchili funksiya lokal ekstremumiga doir ushbu iqtisodiy mazmunli masalani qaraymiz. 
Masala: 
Ishlab chiqarish funksiyasi pul birligida ifodalanib,
6
2
3
30
)
,
(
y
x
y
x
f

ko‘rinishga ega. 
Bunda 
x
–I xomashyo , 
y
–II xomashyo birliklari miqdorini ifodalaydi. I xomashyo bir birligining qiymati – 5, 
II xomashyoniki esa–10 pul birligiga teng. Bu xomashyolardan foydalanish natijasida erishiladigan 
foydaning maksimal qiymatini toping. 
Yechish: 
Bizga ma’lumki, ishlab chiqarish funksiyasi 
f
(
x
,
y
) xomashyolardan foydalanish natijasida 
olingan daromadni ifodalaydi. Bunda, masala shartiga asosan, xomashyolar uchun qilingan xarajatlar 
g
(
x
,
y
)=5
x
+10
y
ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali topiladi. Shu sababli xomashyolardan foydalanish natijasida 
olingan foyda ushbu 
F
(
x
,
y
)=
 f
(
x
,
y
)–
 g
(
x
,
y
)=30
x
1/2
y
1/3
–5
x
–10
y 
ikki o‘zgaruvchili funksiya orqali aniqlanadi. Bu funksiyani yuqorida ko‘rsatilgan algoritm bo‘yicha 
ekstremumga tekshiramiz. Bu yerda xususiy hosilalar 
10
10
)
,
(
,
5
15
)
,
(
3
/
2
2
/
1
3
/
1
2
/
1








y
x
y
x
F
y
x
y
x
F
y
x
. 
Bu xususiy hosilalarni nolga tenglashtirib, ushbu tenglamalar sistemasiga kelamiz va uni yechamiz: 





















27
81
9
1
3
3
1
1
3
3
/
2
3
/
2
3
/
1
3
/
1
2
/
1
3
/
2
2
/
1
3
/
1
2
/
1
y
y
x
y
y
y
x
y
x
y
x
. 
Demak, 
M
0
(81,27) kritik nuqta bo‘ladi. Bu kritik nuqtani II tartibli hosilalar yordamida tekshiramiz: 
,
162
5
3
9
1
2
15
)
27
,
81
(
2
15
)
,
(
3
3
/
1
2
/
3













xx
xx
F
A
y
x
y
x
F
,
81
5
9
1
9
1
5
)
27
,
81
(
5
)
,
(
)
,
(
3
/
2
2
/
1













xy
yx
xy
F
B
y
x
y
x
F
y
x
F
,
81
20
243
1
9
3
20
)
27
,
81
(
3
20
)
,
(
3
/
5
2
/
1













xx
xx
F
C
y
x
y
x
F
0
)
81
5
(
81
25
50
)
81
5
(
)
81
20
)(
162
5
(
2
2
2
2











B
AC
. 

---

Bu kritik nuqtada ∆>0, 
A
<0 bo‘lgani uchun unda foydani ifodalovchi 
F
(
x
,
y
) funksiya maksimumga ega 
bo‘ladi maksimal foyda qiymati pul birligida 
135
27
10
81
5
3
9
30
)
27
,
81
(








F
bo‘ladi.