Ozoda hayitboyevaning differensial geometriya va topologiya fanidan

Topologiya haqida topologiyaning asosiy elementlari.

Topologiya haqida. Ko’pgina matematik tushunchalar, ba’zida butun bir

matematik nazariyalarga vujudga kelishi bilan matematikadan tashqarida bir

qanch vaqt davomida o’z tadbig’ini topmaydi. Jumboqli kompleks sonlar tarixi

bunga yaqqol misol bo’la oladi: ushbu sonlar bir necha yuz yillar mobaynida

boshqa sohalarda qo’llanilmay, keyinchalik, fizika va mexanikaga krib keldi.

Shunga o’xshab matematikaning asosiy bo’g’ini bo’lmish geometriya fanini

oladigan bo’lsak, bu sohada noevklid (Lobachevskiy) geometriyaning asosiy

obyektlari – Lobachevskiy teksligi va fazosi ham bir necha o’n yillar mobayni-

da o’z tadbig’ini topmay kelgan.

Shunga o’xshash sohalardan yana biri Evklid geometriyasi, Lobachevskiy

geometriyasi, qolaversa, zamonaviy matematikaning bir bo’limi, hosilasi bo’l-

gan topologiya fanidir. Topologiya fanining lug’aviy ma’nosi “topos” – joy

(o’rin), “logos” – qonun so’zlaridan iborat.

Metrik fazolar. Matematikaning ko’p qo’llaniladigan tushunchalaridan biri

metrik fazo tushunchasidir. Bu tushuncha matematikaga birinchi bor fransuz

matematigi M.Freshe tomonidan 1906- yilda kiritiladi.

Metrik fazo – bu biror bo’sh bo’lmagan to’plamdagi ikki element (nuqta)

orasidagi masofani aniqlash mumkin. Bu ikki nuqta orasidagi masofani aniq-

lash amali ma’lum bir shartlarni qanoatlantirishi zarur bo’ladi. Bu shartlar ma-

sofa (yoki metrika) aksiomalari deb yuritiladi. Metrik fazo matematikaning de-

yarli barcha sohalariga tadbiq qilinadi. Qolaversa, barcha fanlarda ham turli-

tuman ko’rinishda ishlatiladi. Fazoda ikki nuqta orasidagi masofa ma’lum bo’l-

sa, nuqtalarni o’zaro “yaqin”ligini, nuqta va to’plamning, qolversa, ikkita to’p-

lam “yaqin”ligini aniqlasa bo’ladi. Bu esa, fazoning, figuralarning turli geo-

metrik xossalarini o’rganishda muhim ahamiyatga egadir.

Bo’sh bo’lmagan to’plam va haqiqiy sonlar to’plami berilgan bo’lsin.

Ta’rif. Agar quyidagi shartlar o’rinli bo’lsa, akslantirish

to’plamda metrika deyiladi:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   (simmetriyalik aksiomasi);
   
4. 
   (uchburchak aksiomasi).
   

Agar to’plam va akslantirish metrika tashkil qilsa, ular birgalikda metrik

fazo deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Metrikani metrik fazoda

ikki element yoki ikki nuqta orasidagi masofa deb tushiniladi.

1- Misol. to’plam sifatida - sonlar to’g’ri chizig’I yoki - haqiqiy

sonlar to’plami ni olsak hamda ixtiyoriy va sonlar uchun

desak, u holda, ma’lumki, bu metrikaning hamma shartlarini

qanoatlantiradi. Demak, metrik fazo tashkil qiladi.

2- Misol. - ko’p o’lchovli sonlar fazosi. sifatida

ko’rinishdagi to’plamni olaylik. Bu

to’plamning ikki va elementlari orasidagi metrikani (masofani)

formula bilan aniqlaymiz. Bu yerda

Ma’lumki, bu metrika tashkil qiladi. Bu fazo o’lchovli sonlar fazosi