Ozoda hayitboyevaning differensial geometriya va topologiya fanidan

Teorema. topologik fazoda to’plam ochiq to’plam bo’lishi

uchun mazkur to’plam har bir nuqtasining atrofini o’zida saqlashi zarur va

yetarli.

Topologik fazo bazasi ta’rifidan va nuqtaning atrofi tushunchasidan ayon

bo’ladiki, fazoning barcha yakkalangan nuqtalari (agar shunday nuqtalar mav-

jud bo’lsa) baza elementlari safiga kiradi.

Teorema. topologik fazoning ochiq to’plamlaridan tashkil topgan

jamlanma fazoning bazasi bo’lishi uchun ixtiyoriy nuqtaning atrofi

uchun shunday topilib, shart bajarilishi zarur va yetarlidir.

Bu teoremadan ma’lum bo’ladiki, topologik fazo bazasi quyidagi ikki

xossaga ega:

1. 
   jamlanmaga tegishli barcha elementlarning birlashmasi butun fazodan
   

iborat;

2. 
   jamlanmaning ixtiyoriy ikki elementi va ixtiyoriy uchun
   

shunday topiladiki, shart o’rinli bo’ladi.

Isboti. Bu yerdagi 1-munosabat bazaning ta’rifiga ko’ra ravshan bo’lganligi

uchun 2-munosabatni ko’ramiz. Agar bo’lsa, ochiq to’plam

ekanligidan mavjud bo’lib, munosabat bajariladi.

Shunday qilib, bu ikki xossadan ko’rinadiki, birorta 𝛽 ochiq to’plamlar

sistemasi fazoning bazasi bo’lishi uchun yuqoridagi ikki xossaga ega bo’li-

shi zarur ekan. Bu ikki xossa to’plamdagi topologiyaning bazasini to’la xarak-

terlaydi. Demak, baza orqali ham topologiya kiritish mumkin.

Teorema. ixtiyoriy to’plamda qism to’plamlar oilasi uchun quyidagi

shartlar bajarilsin:

1. qism to’plamlar oilasiga tegishli barcha elementlarning birlashmasi butun fazodan iborat;

2. qism to’plamlar oilasining ixtiyoriy ikki elementi va ixtiyoriy uchun shunday shart o’rinli bo’ladi.

3.

U holda to’plamda shunday yagona topologiya mavjud bo’ladiki, bu topo-

logiya uchun baza bo’ladi.

Isboti. to’plamda oilani quyidagicha aniqlaymiz. oilaga tegishli to’plamla-

larni va ularning yig’indisidan iborat hamma qism to’plamlarni ga kiritamiz.

Teoremaning 1- va 3- shartlariga ko’ra va bo’sh to’plam oilaga tegishli

bo’ladi. Bundan tashqari ning aniqlanishiga ko’ra unga tegishli to’plamlarning

yig’indisi ga tegishli. Demak, bo’lsa, ko’rsatishimiz

kerak. Agar bo’lsa, teoremaning 2-shartiga ko’ra mavjud va

bo’ladi. Demak, . Bu esa

Ekanligini bildiradi.

Mobodo birorta to’plamning qism to’plamlari sistemasi berilgan

va agar bu sistema elementlari uchun shart o’rinli

bo’lsa, sistema to’plamning qoplamasi deyiladi.

Agar qoplamaning elementlari ochiq to’plamlardan iborat bo’lsa, u qoplama

ochiq qoplama deb yuritiladi.

Agarda qism to’plamlar oilasi to’plamning ixtiyoriy qoplamasi bo’lsa,

tabbiy savol tug’iladi: qanday shart bajarilsa, to’plamning ixtiyoriy qoplamasi-

ga ko’ra to’plamda biron bir topologiyani aniqlash mumkinmi? Bu savolga

quyidagi teorema javob beradi.

Teorema. sistema fazoning qoplamasi bo’lsin.

qism to’plamlar oilasi tabiiy

topologiya vujudga keltiradi va sistema topologiyaning bazasini tashkil

qiladi.