O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

3-§. To'g'ridan-to'g'ri VA teskari sochilish
Ushbu bo'limda biz birinchi navbatda (2.1) uchun to'g'ridan-to'g'ri va teskari sochilish texnikasining muhim jihatlarini chizamiz, chunki larning hammasi . kabi tez yo'qoladi. Tahlil natijasida Zaxarov Shabat tomonidan olingan integral tenglamalar rolini o'ynaydigan bog'langan yig'indili tenglamalar tizimi paydo bo'ladi.
Biz xususiy qiymat muammosining alohida yechimlarini aniqlashdan boshlaymiz (2,1). Mayli
(3.1)
va
(3.2)
Ko'rsatilishi mumkinki, mos ravishda parchalanadigan potentsiallar uchun , uchun analitik, , esa .Asimptotik shakllar (3.1), (3.2) ayniqsa qulaydir va ular bilan taklif qilinadi, agar

u holda (2.1) ning at da eritmasi

yechim hisoblanadi at qachon . Muhim Vronskiy munosabati tenglamaga bo'ysunadi
(3.3)
qayerda . Shunday qilib, birlik aylanasida

Muhim holatda, qayerda va (3.5) musbat aniqlangan, shuning uchun funksiyalar mos ravishda chiziqli mustaqildir. Boshqa barcha holatlarda biz bir belgining (3.4), (3.5) ushlab turadigan funktsiyalarining amplitudalarini qabul qilamiz; shuning uchun biz birlik doirasiga yozamiz

potentsiallar orqali vaqtga parametrik bog'liqligini ta'kidlaymiz. Vaqtga aniq bog'liqlik sek. 4. (3.4)-(3.7) birlik aylanada ekanligini bildirishini ham unutmang
(3.8)
va maxsus holatda qayerda bizda bor
, (3,9)
chunki bu potentsial tanlash uchun Teskari sochilish quyidagicha davom etadi. Kombinatsiyalarni hosil qiling
Ko'paytiring (3.10) tomonidan , va tomonidan va birlik doirasi haqida integrallash. and lar mos ravishda birlik doirasi ichida va tashqarisida cheklangan sonli oddiy nolga ega deb faraz qilamiz.
[i. e., , , and , va bu nollarda
, (3.12)
, (3.13)
kontur integratsiyasi orqali topamiz

biz aniqlagan joy

esa odatdagi Heaviside funktsiyasidir. E'tibor bering, hissalari cheksizda yo'qolmaydigan tsikl integrallari tufaylidir. (3.14) da biz ni birlik aylanasidan tashqarida [e.g., ],va (3.15) da ni birlik doira ichida [masalan, [e.g., . Tasvirlarni va o‘rniga qo‘yish

tomonidan tomonidan , ga koʻpaytirish, birlik aylana atrofida integrallash, va keyin chegarasini olib, birlik doirasiga , yaqinlashganda, biz ba'zi manipulyatsiyalardan keyin topamiz.
(3.22)
va
,
qayerda

esa Kroneker delta funksiyasidir. Cheklovchi shakllar toʻgʻridan-toʻgʻri xos qiymat masalasidan (2.1) . shaklida topiladi. Xususan, biz topamiz

va
(3.27)
Amalda (3.22), (3.23) majburiy yig'indi tenglamalari sifatida yozish qulayroqdir. Buni amalga oshirishdan oldin, avvalo, biz potentsiallarning , yadrolari bilan qanday bog'liqligini va nima uchun aslida bu yadrolar 2 dan mustaqil ekanligini ko'rsatamiz. (3.20) dan foydalanib va (2.1) ga almashtirib,
topamiz
, (3.28)
, (3.29)
, (3.30)

, (3.31)

. (3.32)
Xuddi shunday, (3.21) dan foydalanish va (2.1) ga almashtirish hosildorlik


Shunday qilib berilgan topishimiz mumkin dan (3.30), (3.35) va dan uchun odatda. Xuddi shunday, yuqoridagi munosabatlar yadrolarning z xos qiymatidan mustaqil bo'lishini ta'minlaydi. Yechish jarayoni majburiy yig'ish tenglamalarini olish orqali yaxshi amalga oshiriladi. uchun ijaraga berish

bizda (3.12),

va (3.23) dan
(3.41)
Zaxarov-Shabatning uzluksiz integral tenglamalariga o'xshash.Potentsiallar munosabatlardan olinadi

Refsdagi holatdan farqli o'laroq, to'g'ridan-to'g'ri ni aniqlashga hojat yo'q. 5,6. O'tishda shuni ta'kidlaymizki, tenglamasiga qarang] muammoni diskretlashtirilgan Shredinger tenglamasiga o'xshash protseduralar bilan eng yaxshi teskari aylantirish mumkin, ammo natijalar yuqoridagiga o'xshash, chunki potentsiallar oddiygina bog'liq. yadro ustida.
Maxsus holatda qaerda

(3.46)
va
(3.47)
Bunday hollarda tenglamalardan faqat bittasi. (3.40), (3.41) dan foydalanish kerak. Misol uchun,

qayerda

Yadrolarni echishda ko'pincha formadan foydalanish osonroq

va keyin (3.49) dan ni toping.
, potentsiallari etarli darajada yo'qolganda (2.3) dagi chiziqli bo'lmagan differentsial-farq tenglamalari sinfini yechish uchun (3-sek.) ning tarqalish natijalaridan vaqtga bog'liq tenglamalar (2.2) bilan birgalikda foydalanish mumkin. tez kabi. Vaqtga bog'liqlikning ayrim jihatlari oldingi muammolardan ancha farq qiladi. Qo'l ostidagi holatda (2.6) bilan berilgan va evolyutsiya tenglamalari (2.7) dir.
Tarqalgan ma'lumotlarning kerakli vaqtga bog'liqligini olish uchun faqat asimptotik shakli kerak.
vaqtga bog'liq tenglamalar (2.2) (teskari tarqalish tufayli ajoyib fakt!). , sifatida (2.2) shaklni oladi
(4,1)
kabi, bizda mavjud
(4,2)
bu erda yana va . Davom etishning turli usullari mavjud, biroq (2.2) dagi diagonaldan tashqari shartlar asimptotik tarzda yo‘qolganligi sababli, vaqtga bog‘liq xos funksiyalar qondirish uchun tanlanadi.

(4,3)
bu yerda tenglamalarni qanoatlantiradi. (2.1), (2.2) va vaqtga bog'liq bo'lmagan chegara shartlariga ega (3.1), (3.2) (3-sek.ning sochilish natijalaridan bevosita foydalanish uchun zarur). (2. 1) ni qanoatlantiradi va (4.3) yordamida olingan (2.2) ga o‘xshash tenglamalar to‘plami.
Vronskiylar (3.4), (3.5) bir belgili deb faraz qilinganligi sababli[ muhim holatda (3.4), (3.5) ijobiy aniqlangan ] yozishimiz mumkin
(4.4)
bu yerda vaqtdan mustaqil. (4.3), (4. 4) dan foydalanib munosabatlarni qondirishni ko'rsatish mumkin.


bu yerda dastlabki shartlardan olinadi. Bu muammoning oldingi masalalardan farqi shundaki, tarqalish ma’lumotlari individual ravishda orqali potentsialga bog’liq, chunki biz potentsiallarni inversiya yo’li bilan topmoqchi bo’lsak, bu jiddiy qiyinchilik tug’dirishi mumkin. Muammoni hal qilish bizga , va ning vaqtga bog'liqligiga muhtoj ekanligiga bog'liq.

(4.6)
,
Endi (3.24), (3.25) bilan aniqlangan va faqat dastlabki ma’lumotlarga bog‘liq bo‘lib, inversiya oddiygina amalga oshirilishi mumkin. , and boʻlganda (3.48)-(3.52) formulalar boʻlishini unutmang. ) yordamida (4.6) qo'rg'oshin (2.8) ning yechimiga va shuning uchun (1.1), (1.2) o'z-o'zidan ikkilangan tarmoq tenglamalari bilan aniqlangan.
Munosabat (3.8) shaklda yozilganligini aytib o'tamiz
(4.7)
(2.7) ning saqlanish qonuni bilan chambarchas bog'liq. Tenglamalar to'plamidan foydalanish. (4.5), bizda bor
(4.8)
O'ng tomon vaqtdan mustaqil bo'lishi kerak. (2.7) dan ifodasini formula qilib, yig‘indini topamiz.

Shunday qilib,
(4.10)
kerak bo'lganidek.
Kelgusi maqolada biz yechimning turli jihatlarini batafsil muhokama qilamiz. Bu erda biz faqat bitta soliton natijalarini keltiramiz. Natijalar Hirota tomonidan topilgan natijalarga mos keladi. va , va , deb faraz qilsak, tenglamalar. (3.48), (3.49) tegishli belgi bilan ishlatilishi mumkin. Agar , bo'lsa va faqat bitta bog'langan holat mavjud bo'lsa, u holda

va (4.11)

(3.52), dan foydalanish qanoatlantiradi,

Aniqlash
(4.13)
topamiz

bunda qanoatlantirishi topiladi.

(4.14)
va

(4.15)
Shunday qilib, (3.50) va (3.51) dan foydalanib, biz soliton yechimlarini topishimiz mumkin. va real bo‘lganda,

qayerda
(4.18)
E'tibor bering, solitonlar chapga yoki o'ngga siljiydi va amplituda ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Umumiy holda, murakkab solitonlar, shuningdek, juftlashgan solitonlar bilan bog'langan holatlar mavjud [har biri bir xil tezlikka ega bo'lgan solitonlar (shuningdek, 8-rasmga qarang)].