|
II-BOB.
1-§. Nochiziqli differensial tenglamalar
Ayrim sinflarga oid differensial farq tenglamalarni topish va yechish imkonini beruvchi usul keltirilgan yangi diskret xususiy qiymat masalasini qurish o’z-o’zidan ikkilangan tarmoq tenglamalarining aniq hajmini teskari yoyish orqali toppish imkonini beradi. Xususiy qiymat masalasiga yagona chegarasi sifatida Zaxarov va Shabatlarning uzluksiz xos qiymat tenglamalari mavjud.Ba’zi qiziqarli farqlar tarqalish tahlilida ham,oldimgi ishlardan vaqtga bog’liqlikda ham paydo bo’ladi
Ma'lumki, bir qator fizikaviy qiziqarli masalalarni chiziqli bo'lmagan differensial-farq tenglamalari yordamida modellashtirish mumkin. Ushbu maqolada biz birinchi navbatda ushbu muammolarning muhim sinflarini topish va hal qilish imkonini beradigan protsedurani tasvirlash bilan shug'ullanamiz. Yechish usuli teskari tarqalishini bilishni talab qiladi. Bu ish ruhan Flashkaning Toda panjarasini echish bo'yicha 3,4 va Case va Kac, 5 va Case diskretlangan Shredinger tenglamasining teskari tarqalishi haqidagi ishlariga o'xshaydi. Xususan, biz quyidagilarni ko'rsatamiz: (i) yangi diskret xususiy qiymat muammosini tahlil qilish chiziqli bo'lmagan o'z-o'zidan ikkilamchi tarmoqni hal qilishga olib keladi.
(1.1)
(1.2)
Hirota tomonidan taklif qilingan. Ushbu xususiy qiymat muammosi o'zining yagona uzluksiz chegarasi sifatida Zaxarov-Shabat tizimiga ega. 8 Munosabatlar diskretdan uzluksizgacha aniq ko'rinadi, lekin aksincha emas. (ii) (1. 1), (1. 2) kabi evolyutsiya tenglamalarini va haqiqatan ham umumiyroq tenglamalarni muntazam ravishda olish imkonini beruvchi algebraik protsedura ko'rsatilgan. Muammoning algebraik murakkabligi Refda muhokama qilingan tizimli protseduralarni talab qiladi. 9. Bundan tashqari, biz bunday tartib diskretlashtirilgan Shredinger tenglamasiga qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz. (iii) (1. 1), (1. 2) bilan bogʻliq boʻlgan xususiy qiymat muammosi uchun teskari tarqalish tahlili keltirilgan. Bu bilan diskretlashtirilgan Shredinger tenglamasi tahlili o'rtasida qiziqarli farqlar mavjud. Shuni ham ta'kidlaymizki, tarqalish ma'lumotlarining vaqtga bog'liqligi juda ehtiyotkorlik bilan ko'rib chiqilishi kerak Ref. 10).
Hirota tomonidan taklif qilingan. Ushbu xususiy qiymat muammosi o'zining yagona uzluksiz chegarasi sifatida Zaxarov-Shabat tizimiga ega. 8 Munosabatlar diskretdan uzluksizgacha aniq ko'rinadi, lekin aksincha emas. (ii) (1. 1), (1. 2) kabi evolyutsiya tenglamalarini va haqiqatan ham umumiyroq tenglamalarni muntazam ravishda olish imkonini beruvchi algebraik protsedura ko'rsatilgan. Muammoning algebraik murakkabligi Refda muhokama qilingan tizimli protseduralarni talab qiladi. 9. Bundan tashqari, biz bunday tartib diskretlashtirilgan Shredinger tenglamasiga qanday qo'llanilishini ko'rsatamiz. (iii) (1. 1), (1. 2) bilan bogʻliq boʻlgan xususiy qiymat muammosi uchun teskari tarqalish tahlili keltirilgan. Bu bilan diskretlashtirilgan Shredinger tenglamasi tahlili o'rtasida qiziqarli farqlar mavjud. Shuni ham ta'kidlaymizki, tarqalish ma'lumotlarining vaqtga bog'liqligi juda ehtiyotkorlik bilan ko'rib chiqilishi kerak Ref. 10).
Teskari tarqalish o'zgarishi birinchi bo'lib Gardner, Grin, Kruskal va Miura tomonidan yoritilgan va barcha g'oyalarni batafsil o'rganib chiqishgan, ularning aksariyati ushbu ish uchun tegishli bo'lgan Ablowitz, Kaup, Nyuell va Segur tomonidan taqdim etilgan. 12
Diskretlashtirilgan xos qiymat masalasini ko'rib chiqing.
(2.1)
Potentsiallari bilan , , , va xos qiymat intervalida . Bundan tashqari,xos funksiyaning vaqtga bog’liqligi ham bo’lsin.
Differensial tenglamaga rioya qiling
(2.2)
Yechimlar , xos qiymatli Z interval mavjud quyidagi tenglamalar bajarilganda:
),
(2.3)
Qayerda , (…), va (2. 3) ga (2.1) ni z ko‘rinishida qo‘yish orqali eng oson erishiladi.
(2.4)
So’ngra aniqlikni oshirish uchun (2.2) dan foydalanamiz.
, i=1,2.
Keyin (2.3) tenglamalar natijaviy tizimda vi, (i = 1, 2) koeffitsientlarini tenglashtirish yo'li bilan olinadi. Kontinuum analogiyasini osonroq ko'rish uchun biz (2. 1) shaklni afzal ko'ramiz. !!
Differensial-farq tenglamalarini chiqarish uchun zarur bo'lgan sof algebraik protsedura quyidagicha davom etadi. , , , kabi kengaytiring.
,
, . (2.5)
(2. 5) ning tuzilishi tenglamalarni diqqat bilan ko'rib chiqish orqali taklif qilinadi. (2. 3), maxsus soliton eritmalarining vaqtga bog'liqligi va chiziqli "tarqalish" munosabatining ma'nosi, Qabul qilingan shakl bilan (2. 5), tenglamalar. (2, 3) , z, , , darajalarga mos keladigan tenglamalar ketma-ketligini hosil qiling, ularning barchasi mustaqil ravishda bajarilishi kerak. z birinchi.Bu hisob-kitoblarning natijalari , ..., hamda zarur evolyutsiya tenglamalarini beradi.Tasdiqlanishi mumkinki,
,
, (2.6)
,
,
evolyutsiya tenglamalari bilan birga
,
,
, (2.7)
,
Bu yerda , , , n sifatida olingan barcha doimkiylar (qulaylik uchun ) endi max qiymati aniq , , va , ekanini bilib olamiz.
(2.8’)
vaqt bo'yicha diskretlashtirilgan "ikkinchi tartibli chiziqli bo'lmagan Shrödinger tenglamasi.
Shu bilan bir qatorda, , , , , bizda bor.
,
, (2.9)
Shundan keyin , buni ko’ramiz ; bundan keyin
(2.10)
va Toda panjara tenglamasi chiqariladi, Bundan tashqari, boshqa evolyutsiya tenglamalarini (2. 5) emas, balki z ga umumiy kengayishda , ..., ni kengaytirish orqali chiqarish mumkinligini taʼkidlaymiz.
Nihoyat, shuni ta'kidlaymizki, agar , = , = 0 bo'lsa, evolyutsiya tenglamasi diskretlashtirilgan to'lqin tenglamasiga linearlashadi. Shuni ta'kidlash kerakki, Toda panjara tenglamalarini diskretlashtirilgan Shredinger tenglamasidan (Flashka tomonidan taklif qilingan) algebraik usulda ham chiqarish mumkin.U holda xos qiymat masalasi quyidagicha beriladi.
(2.11)
Bu yerda -xos qiymat ( , ni) deb olamiz). (2.2) ga o'xshash mos vaqtga bog'liqlik sifatida yozilishi mumkin
. (2.12)
Vaqtga nisbatan (2, 11) va (2.12) dan foydalangan holda farqlash ikkita tenglamani beradi ( va koeffitsientlari).
= ,
+
. (2.13)
, sifatida kengaytirsak
(2.14)
Va ,..., koeffitsientlarini mustaqil ravishda yo'q bo'lishini talab qilish , va evolyutsiya tenglamalarini beradi. topamiz
(2.15)
shuningdek evolyutsiya tenglamalari
Do'stlaringiz bilan baham: |
