O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Misol 2.2.3. Ushbu

tenglama uchun sochilish nazariyasining berilganlarini topamiz. Bu yerda - Dirak delta funksiyasi.
Yechish. Berilgan tenglamaning Yost yechimi quyidagi

integral tenglamani qanoatlantirishi ma'lum. Dirak delta funksiyasining xossalaridan foydalanib, ushbu

yechimni topamiz. Xuddi shuningdek, quyidagi

integral tenglamadan

ikkinchi Yost yechimi ham kelib chiqadi. Shu bobning ikkinchi paragrafidagi (2.2.5) formulalardan foydalanib, va koeffitsiyentlarni topib olamiz:


Bundan foydalanib berilgan operatorning xos qiymatlarini topish mumkin:

Agar bo'lsa, u holda funksiyaning noli yuqori yarim tekislikda yotadi. Shuning uchun, berilgan tenglama

ko'rinishdagi bitta manfiy xos qiymatga ega bo'ladi. Bu xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyani aniqlaymiz. Buning uchun
quyidagi

tengliklardan

ya'ni

xos funksiyani topamiz. Normallovchi o'zgarmas, ushbu

tenglikdan topiladi. Demak, ortonormal xos funksiya

ko'rinishda bo'lar ekan. Bu holda, ya'ni bo'lganda, yuqoridagi Shturm-Liuvill tenglamasi uchun sochilish nazariyasining berilganlari, quyidagilardan
,

iborat bo'ladi.
Agar bo'sa, u holda berilgan Shturm-Liuvill tenglamasi xos qiymatga ega bo'lmaydi. Chunki, bu holda funksiya yuqori yarim tekislikda nolga aylanmaydi. Bunda
sochilish nazariyasining berilganlari sifatida ushbu

funksiyani olish mumkin.
Misol 2.2.4. Quyidagi

tenglama uchun sochilish nazariyasining berilganlarini topamiz. Bu yerda

Berilgan tenglama bo'lganda

ko'rinishni oladi. Agar bo'lsa, u holda berilgan tenglama

ko'rinishda bo'ladi. Shuning uchun, berilgan tenglamaning Yost yechimini ushbu

ko'rinishda izlaymiz. Bunda Yost yechimining nuqtalarda uzluksizligidan

kelib chiqadi. Xuddi shuningdek, funksiyaning nuqtalarda uzluksizligidan

munosabatlarni topamiz. va sistemalarning birinchi tenglamasini quyidagicha yozib olamiz:

Bu sistemani va larga nisbatan yechib,

ekanini topamiz. Odatdagiday (2.2.35) va sistemalarning ikkinchi tenglamalarini qulay shaklga keltiramiz:

Bundan va (2.2.37) tengliklardan,

kelib chiqadi. Demak,

Endi funksiyaning nollarini izlaymiz. Agar deb olsak, u holda tenglama quyidagi ko'rinishni oladi:

Bu yerda . Oxirgi tenglamani ushbu

ko'rinishda yozish mumkin. Shunday qilib, tenglama quyidagi

transendent tenglamaning ildizlarini topish masalasiga keltiriladi. Ko'rinib turibdiki, nuqtalar bu tenglamaning ildizlari bo'ladi. Biz funksiyaning yuqori yarim tekislikda joylashgan nollarini topishimiz kerak. Shuning uchun, ushbu

munosabatlardan bolishini topamiz. Shunday qilib, funksiyaning noli dan iborat bo'ladi. Yuqoridagi (2.2.37) tengliklarda va deb olib, va koeffitsiyentlarning qiymatlarini topamiz:

Shuning uchun, agar bo'sa, u holda xos qiymatga mos keluvchi xos funksiya ushbu

ko'rinishga ega bo'ladi. Shunday qilib, biz izlayotgan

xos funksiya topildi. Endi normallovchi o'zgarmasni topamiz:



Demak, yuqoridagi Shturm-Liuvill tenglamasi uchun sochilish nazariyasining berilganlari quyidagilardan iborat: