O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Ta'rif 2.2.2. Ushbu to'plamga mos ravishda sochilish nazariyasining o'ng va chap berilganlari deyiladi.
Ko'rinib turibdiki, quyidagi
(2.2.28)
funksiya ushbu

tenglamani qanoatlantiradi. Bundan tashqari (2.2.5) tengliklarning birinchisidan va (2.1.4), (2.1.5) asimptotikalardan foydalanib yuqori yarim tekislikda ushbu
(2.2.30)
munosabatlarning o'rinli bo'lishini ko'rsatish mumkin. Bundan (2.2.28) formulaga asosan quyidagi

munosabatlar kelib chiqadi. Oxirgi munosabatlardan foydalanib, ushbu

tengliklarni topamiz.

Keyingi izlanishlarimizda quyidagi lemmadan ham foydalanishga to' 'ri keladi.
Lemma 2.2.4. Aytaylik, va funksiyalar mos ravishda quyidagi

tenglamalarning yechimlari bo 'lsin. U holda ushbu

tenglik o'rinli bo 'ladi.

Bu lemmadan, xususan har hil xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalarning o'zaro ortogonalligi kelib chiqadi.
Misol 2.2.1. Agar bo'lsa, u holda (2.1.1) tenglamaning Yost yechimlari ko'rinishda bo'lganligi uchun bo'ladi. holda operatorning xos qiymatlaridan tuzilgan to'plam bo'sh to'plamdan iborat bo'ladi.
Misol 2.2.2. Quyidagi

tenglama uchun sochilish nazariyasining berilganlarini (SNB) topamiz.
Buning uchun avvalo, berilgan tenglamaning Yost yechimini ushbu

ko'rinishda izlaymiz. Bu yerda const va hozircha noma'lum funksiya. Yost yechimining bu ko'rinishidan foydalanib, va hosilalarni hisoblaymiz:

.
Bu ifodalarni berilgan tenglamaga qo'yib, quyidagi


tenglikni olamiz. Bunda, o'zgaruvchining bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni tenglashtirish natijasida quyidagi

tenglamalar hosil bo'ladi. Oxirgi tengliklarni quyidagicha yozib olamiz:


Bundan

kelib chiqadi.
Shunday qilib, Yost yechimining ushbu

ko'rinishini topamiz. Yost yechimining ushbu

asimptotikasidan foydalanib, o'zgarmasning qiymatini aniqlaymiz:

Demak, berilgan tenglamaning Yost yechimi

ko'rinishda bo'lar ekan. Xuddi shuningdek, Yost yechimining ikkinchisini ham topish mumkin:

Topilgan Yost yechimlarining ifodalarini (2.2.5) formulalarga qo'yib, va koeffitsiyentlarni topamiz:

Berilgan

operatorning xos qiymatini topish uchun tenglamaning ildizini topamiz:

Bundan foydalanib, xos funksiyalarni topamiz:

Endi, quyidagi integrallarni hisoblab, normallovchi o'zgarmaslarni topamiz:


Yuqoridagi mulohazalardan ko'rinadiki, berilgan operatorning xos qiymati bo' lib, unga

xos funksiya mos keladi. Bu holda normallovchi o'zgarmaslar ham hisoblanadi: . Normallangan xos funksiya esa ushbu

ko'rinishda bo'ladi.
Demak, tenglama uchun sochilish nazariyasining berilganlari quyidagilardan iborat bo"lar ekan: