O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Izoh 2.2.1. L operator xos qiymatlaridan tuzilgan to'plam uning diskret spektridan iborat bo 'ladi.
Teorema 2.2.1. Manfiy bo'lmagan sonlar operatorning xos qiymati bo la olmaydi.
Aytaylik, to' plam funksiyaning yuqori yarim tekislikdagi nollaridan tuzilgan to'plam bo'lsin. U holda funksiya yuqori yarim tekislikda analitik bo'lib, ushbu

asimptotikani qanoatlantirganligi uchun, to'plam ko'pi bilan sanoqli, chegaralangan to'plam bo'ladi.
Teorema 2.2.2. L operatorning xos qiymatlaridan tuzilgan to'plam to'plam bilan ustma-ust tushadi va bo'ladi. Har bir xos qiymatga ko'rinish-
dagi xos funksiyalar mos keladi va ular haqiqiy bo'lib, ushbu
(2.2.19)
tenglikni qanoatlantiradi. Har xil xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalar fazoda o'zaro ortogonal bo 'ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, bo' 'sin. U holda va funksiyalar yordamida tuzilgan Vronskiy determinanti uchun (2.2.5) tenglikka asosan, quyidagi

munosabatni olamiz. Bundan (2.2.19) kelib chiqadi. Shu bobning birinchi paragrafidagi (2.1.10) munosabatga asosan,

o'rinli. Shuning uchun, (2.2.19) tenglikdan

hosil bo 'ladi. esa va funksiyalar operatorning xos qiymatlariga mos keluvchi xos funksiyalar ekanligini ko'rsatadi.
Faraz qilaylik, soni operatorning xos qiymati bo'lib, unga xos funksiya mos kelsin, ya'ni

bo' 'sin. xos funksiya bo'lgani uchun bo'ladi. Bundan

kelib chiqadi. Oxirgi tengliklardan foydalanib,

tenglamani hosil qilamiz. Bu esa ekanligini ko'rsatadi. Aytaylik, va
sonlari operatorning xos qiymatlari bo'lib, ularga mos ravishda va xos funksiyalar mos kelsin. Bo'laklab integrallash qoidasidan foydalanib,

tenglikka ega bo'lamiz. Bundan

ya'ni

kelib chiqadi.
Aytaylik, soni operatorning kompleks xos qiymati bo'lib, unga xos funksiya mos kelsin. U holda berilgan operator koeffitsiyenti haqiqiy funksiya bo'lgani uchun soni ham uning xos qiymati bo lib, unga xos funksiya mos keladi. Har xil xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalarning ortogonalligidan

munosabatni topamiz. Bundan ziddiyat kelib chiqadi. Bu esa xos qiymatning haqiqiy son ekanligini bildiradi. Shuning uchun, operatorning barcha xos qiymatlari haqiqiy sonlardan iborat bo'lib, ular ko'rinishda bo'ladi. Demak, , ya'ni ekan.
Ushbu

belgilashlarni kiritamiz.