O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus

Mavzuning amaliy ahamiyati: 

---

 

4 

Umumiy  o’rta  ta’lim  maktablaridagi  matematika  o’qituvchilari  ta’lim 

jarayonini tashkil qilishda,  ilmiy tadqiqot natijalaridan  va ularga asoslangan  holda 

ilgari  surilgan  xulosalar,  tavsiyalardan  matematika  o’qitish  jarayonida,  sinfda  va 

sinfdan  tashqari  tadbirlarda,  shuningdek  o’quvchilarda  matematik  tafakkurni 

shakllantirishga qaratilgan ta’limning barcha shakllarida foydalanishlari mumkin. 

---

 

5 

Asosiy qism 

I bob. Matematika fanining paydo bo’lishi va taraqqiyoti. 

1.1§. Matematikaga oid datlabki tasavvurlar haqida. 

Son va sanoq dastlab qachon paydo bo’lganligini hech kim bilmaydi. Ammo 

bundan bir necha o’n ming yillar oldin odamlar meva va urug’larni, baliq tutganlar, 

toshdan  pichoq  va  bolta  yasaganlar.  Ular  qilgan  ov  keyingi  ovgacha  etishini, 

qancha  baliq  tutganliklarini  yig’gan  mevalarini  o’zaro  bo’lib  olishni  bilishlari 

kerak bo’lgan.  

Shunday  qilib  odamlar  ov  qilganda  baliq  tutganlar,  mevalarni  va 

qo’ziqorinlarni  terganda,  hozirgi  vaqtda  son  va  sanoq  yordamida  yechiladigan 

masalalarga  duch  kelganlar.  Xali  sanashlarni  bilmaydigan  qadimgi  ovchi  barcha 

barcha  itlar  o’zi  bilan  ovga  chiqqanini  yoki  birortasi  qochib  ketganini  bilgan. 

Odamlar  kiyikning  nechta  shoxi,  qushning  nechta  qanoti,  bo’rining  nechta  ko’zi 

bo’lsa,  odamning  shuncha  qo’li  borligini  bilganlar.Ular  ikkigacha  sanashni 

o’rganganlar.  

Tinch Okeani orollarida  yashovchi ko’pgina qabilalar  yaqin zamonlargacha 

faqat “Besh” va “ikki’ sonlaridan foydalanganlar. Ular 3 sonini “ikki-bir”, 5 sonini 

“ikki-ikki-bir”,  6  sonini  esa  “ikki-ikki-ikki”  deb  atashganlar.  6  dan  katta  sonlarni 

ishlatmaganlar va ularni “ko’p” deb atashganlar. Keyinchalik boshqa sonlar “to’rt”, 

“besh”  va  hokazo  sonlar  paydo  bo’ldi.  Buyumlarni  sanashni  osonlashtirish  uchun 

ularni beshtalab, o’ntalab, uyumlarga ajrata boshladilar. Dyujina (12 ta buyumdan 

tuzulgan uyum)ni ikki, uch, to’rt, va oltiga teng bo’lakka bo’lish oson bo’lgan, shu 

jihatdan  undan  foydalanish  qulay  bo’lgan.  Hozirda  ham  ba’zi  buyumlar  (vilka, 

pichoq,  dastro’mol)  dyujinayu  sanaladi.  Ammo  dyujinagalashga  qaraganda 

ko’proq  beshtalab  (5  ta  buyumdan  tuzulgan  uyum)  va  o’ntalab  (10  ta  buyumdan 

tuzulgan  uyum)  sanashdan  foydalanganlar,  beshtalab  sanaganda  bir  qo’ldagi 

barmoqlar  soniga,  o’ntalab  sanaganda  ikki  qo’ldagi  barmoqlar  soniga  buyum 

bo’ladi. 

Agar  ko’proq  buyumlarni  sanash  kerak  bo’lsa,  ularni  kattaroq  uyumlarga 

birlashtirganlar. O’nta o’ntalik yuzni, o’nta yuztalik mingni tashkil qilgan. Bunday 

xolda bir  necha kishi sanagan. Birinchi kishi qo’llaridagi barmoqlarini birin ketin 

yumib,  birliklarni  sanagan.  Sanovchida  10  ta  barmoqning  hammasi  yumilgandan 

keyin,  u  barmoqlarini  ochib  yuborgan,  ikkinchi  sanovchi  esa  bitta  barmog’ini 

yumgan.  Uning  barmoqlari  nechta  to’la  o’ntaliklar  sanalganini  ko’rsatgan.  U 

barcha  barmoqlarini  yumganda,  bu  10  ta  to’la  o’ntalik,  ya’ni  yuz  sanalganini 

bildirgan.  U  holda  uchinchi  sanovchi  bitta  barmog’ini  yumgan  Agar  sanashning 

oxirida uchinchi sanovchi 6 ta barmog’ini. Birinchi 8 ta barmog’ini yumgan bo’lsa, 

bu 6 ta  yuzlik, 2 ta o’nlik  va 8 ta birlik, ya’ni 628 ta  narsa sanalganini bildirgan. 

---

 

6 

Bunday sanoq sistemasi o’nli sanoq sistemasi deyiladi, chunki bu sistema asosida 

10 soni yotadi. 

Sonlarning o’zbekcha nomi sanoq sistemasi bilan bog’liq. Masalan, o’n yeti, 

“o’nning  ustida  yetti”,  o’ttiz  “uchta  o’nlik”,  yetmish  “yetita  o’nlik”,  besh  yuz 

“besh yuzlik” demakdir.  

Hozirgi vaqtda dunyodagi xalqlarning deyarli hammasi o’ntalab, yuztalab va 

mingtalab sanashdi, ya’ni o’nli sanoq sistemasidan foydalanadilar. Biroq, ilgarilari 

ba’zi  xalqlar  boshqacha  sanoq  sistemasini  qo’llaganlar.  Kishilar  yalang  oyoq 

yuradigan  issiq  mamlakatlarda  sanash  uchun  faqat  qo’llarining  barmoqlarinigina 

emas,  balki  oyoqlarining  barmoqlarini  ham  ishlatganlar.  Natijada  yigirmatalab 

sanash hosil bo’lgan. Ba’zi Afrika va Amerika xalqlari shunday sanaganlar. Hozir 

ham  franso’zlar  sakson  soni  shunday  so’z bilan  aytiladi,  uni  o’zbek  tiliga  tarjima 

“to’rt  marta  yigirma”ni  bildiradi.  Demak,  qachonlardir  ularning  ajdodlari 

yigirmatalab sanaganlar.  

Bundan besh ming yillar avval esa sharqdagi ba’zi mamlakatlarda narsalarni 

60  talab  uyumlarga  ajratib  (ya’ni  besh  dyujinalab)  sanaganlar.  Bunday  sanoq 

sistemasining  izlari  hozirgacha  saqlanib  qolgan,  masalan,  hozir  ham  soatni  60 

minytga, minytni esa 60 sekyndga bo’lamiz.  

Yoyiq  burchakni  180  ْ  gradusga  bo’lish  ham  shu  sanoq  sistemasi  bilan  bog’liq, 

chunki,  

 180= 3 * 60 

Dastlabki  vaqtlarda  hisoblash  uchun  katta  sonlar  kerak  bo’lmagan,  shu 

sababli xonalar uchun ozgina nomlar kerak bo’lgan.  

Ammo  qadimgi  zamon  olimlari  “daryodagi  suv  tomchilarini,  galadagi 

chigirtkalarni, dengiz qirg’og’idagi qum donachalarining miqdorini son bilan ifoda 

qilish  mumkinmi  degan  savol  ustida  bosh  qotirganlar.  Ular  bilan  sonlar  buning 

uchun  yetarli  bo’lmagan.  Lekin  bundan  ikki  ming  yillar  avval  grek  matematigi 

Arximed  ulkan  sonlarni  o’z  ichiga  olgan  shunday  raqamlash  sistemasini 

yaratganki,  uning  yordamida  faqat  dengiz  qirg’og’idagi  qum  donachalari  sonini 

emas,  balki  yer  sharidagi  barcha  qum  donachalari  sonini  hisoblash  ham  mumkin 

bo’lgan.  Ulkan  sonlar  taxminan  o’sha  vaqtlarda  Hindistonda  yozilgan  kitoblarda 

ham uchraydi.  

Qadimgi  Rusda  10  mingni  “t’ma”,  100  mingni  “legion”  deb  atashgan. 

“million”  degan  nom  XIV  asrdan  “milliard”  esa  XVI  asrdan  ishlatila  boshlagan. 

Milliarddan  katta  xonalar  uchun  ham  nomlar  bor,  lekin  amalda  ular  deyarli 

qo’llanilmaydi.  

Sonlarni  sanashda  ularning  nomlarini  aytishni  bilishgina  emas,  balki  ularni 

yozishni ham o’rganib olish kerak bo’lgan.  

---

 

7 

Yozuv  paydo  bo’lganiga  qadar,  sonlarni  esda  saqlash  uchun  birkalardan-

tayoqlardan  foydalanganlar,  sonda  nechta  birlik  bo’lsa,  tayoqchani  shuncha  marta 

kertib  qo’yganlar.  Amerikadagi  hindlar  esa  sonni  konopkalarga  tugunlar  tugush 

yordamida tasvirlaganlar.  

  

Yozuv  paydo  bo’lgandan  keyin  sonlarni  maxsus  belgilar  bilan  yoza 

boshlaganlar.  Ko’pgina  xalqlar  buning  uchun  sonning  nomidagi  birinchi  xarfdan 

foydalanganlar  (agar  biz  ham  shunday  qilganimizda  edi,  u  xolda  yuzni”10”  xarfi 

bilan,mingni  “M”xarfi  bilan  belgilagan  bo’lar  edik.).  qadimgi  Rusda  “a”  xarfi  1 

sonini  “b”  xarfi,  2  sonini  bildirgan  10,  20 100,…,  900  sonlarni  belgilash  uchun 

ham xarflar bolgan. Sonlarni farq qilish uchun xarflar ustiga maxsus belgi  

 

  

titlo qo’yiladigan bo’lgan.  

Ikki  yarim  ming  yildandan  ko’proq  oldin  qadimgi  Rimda  qo’llanilgan 

sщnlarni yozish sistemasi keng tarqalgan. Ba’zi rim raqamlari mana bo’lar:  

I-bir,   L -ellik  

Y-besh, C-yuz  

X-o’n, M-ming. 

 5 ning belgisi ochiq xoldagi kaftdan, 10 ming belgisi ochiq holdagi ikkita kaftdan 

olingan (1-shaklga qarang).  

 Rim belgisi juda uzoq vaqt foydalanilgan. Xatto XVIII asrda ham ish qog’ozlarida 

(xujjatlaeda)  sonlarni  faqat  rim  raqamlarni  bilan  belgilash  ruxsat  etilgan.  Hozirga 

qadar biz asrlarni belgilash uchun bu raqamlardan foydalanamiz. Masalan, XX asr-

20 asr  

Sonlarni  rimcha  yozish  sistemasi  noqulay  bo’lgan  sonlar  ustida  arifmetik amallar 

bajarish  keyin  bo’lgan.  Bu  sistemani  bizga  ma’lum  sistema  –  taxminan  bundan 

1400  yillaroldinHindistonda  paydo  bo’lgan  sonlarni  yozish  sistemasi  siqib 

chiqardi. Bu sistemada barcha sonlar o’nta raqam yordamida belgilangan. 

 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  

Bunda raqamning qiymati uning egallagan o’rniga, ya’ni uning pozitsiyasiga 

bog’liq bo’lgan. Shuning uchun sonlarni bunday yozish sistemasi pozitsion sistema 

deyiladi.  Yuqorida  aytilgan  oltmishli  sistema  ham  pozitsion  sistema  bo’lgan. 

Ammo sonlarni yozishning o’nli sistema Hindistondagina bo’lgan, yo’q xonalarni 

mahsus  belgi  –“0”  bo’lmasa,  17  ni  170  dan  108  ni  1800  dan  farq  qilish  qiyin 

bo’lardi.  Sonlarni  belgilashning  hind  usuli  asta  sekin  hamma  mamlakatlarga 

tarqala  boshladi.  Yevropaliklar  sonlarni  yozishning  hind  usuli  arablardan 

---

 

8 

o’rganinshgan  shuning  uchun  biz  foydalanadigan  raqamlar  ko’pincha  arab 

raqamlari deyiladi. 

Qadimgi  mirzoga  askarlar  uchun  qancha  non  kerakligini  hisoblash  lozim 

bo’lganda.  Boshqacha  aytganda  bajarish  usullari  hozirgi  zamondagiga  hech  bir 

o’xshamaydi,  chunki  sonlarni  ham  tamoman  boshqacha  yozishgan.  Masalan, 

misrliklar ko’paytirish uchun sonlarni ikkilantirishdan foydalanganlar. ular sonni 6 

ga ko’paytirish uchun uni shakillantirganlar, so’ngra natijani yana ikkilantirganlar 

va hosil bo’lgan javoblarni qo’shganlar (6a=4a+2a).  

Boshqa  Sharq  mamlakatlarida  hisoblash  uchun  bizning  ko’paytirish 

jadvalimizga  o’xshash  jadvaldan  foydalanganlar.  faqat  u  jadvalda  juda  katta 

sonlarning ko’paytmalari uchun javoblar ham ko’rsatilgan.  

Qadimgi  Gretsiya  va  qadimgi  Rimda  hisoblash  uchun  maxsus  hisob  taxtasi 

obakdan foydalanganlar.  

Ko’paytirish  va  bo’lish  amallari  juda  qiyin  amallar  hisoblanga.  Shuning 

uchun  bundan  bir  necha  yuz  yiloldinhisoblashni  yaxshi  bilgan  kishilar  turli 

mamlakatlar  bo’ylab  sayoxat  qilib  yurganlar.  Savdogarlar  ularni  har  hil 

hisoblashlarni bajarish uchun yollaganlar.  

Bundan 3 ming yillar oldin matematikadan dastlabki darsliklar tuzganlar. Bu 

darsliklar bo’yicha  mirzolar sonlari  yozishni qo’shishni,  ayirishni, ko’paytirish  va 

bo’lishni  masalalar  yyechishni  o’rganganlar.  Kitoblarni  qo’lda  ko’chirib  yozish 

kerak bo’lgani uchun, bunday darsliklar kam bo’lgan. Biroq XV asrda kitob bosish 

ixtiro qilinganda keyin matematika darsliklarining soni tezda ko’paya boshladi.  

Bizgacha etib kelgan matematikaga oid qadimgi qo’l yozmalarda faqat butun 

sonlar emas, balki kasrlar ham uchraydi. Qadimgi Misrda ulushlarnigina bilishgan 

va 

3

2

kasri  uchun  maxsus  belgi  bo’lgan.  Shuning  uchun  kasrlar  ustida  amallar 

bajarish juda murakkab bo’lgan.  

XV  asrda  O’rta  Osiyo  olimi  al-Qoshi  (1442)  “Arifmetika”,  “Kasrlar 

algebrasi”  asarlarida  o’nli  kasrlarni  fanga  kiritdi.  Yevropada  u  bilan  faqat  XVI 

asrning  oxiridagina  tanishadilar.  O’nli  kasrlar  bilan  hisoblashda  raqamlarni  juda 

ko’p bo’lgan sonlar hosil bo’lgan. Raqamlari ko’p bo’lgan bunday sonlarga amalda 

zarurat  bo’lmagan.  Shuning  uchun  topilgan  javoblarni  yaxlitlash,  taqribiy 

hisoblashni  kiritishga  to’g’ri  kelgan.  Taqribiy  hisoblashni  rivojlantirish  sohasida 

ulug’  rus  matematigi  va  kemasoz  akademik  Aleksey  Nikolayevich  Krilov  (1863-

1945) ko’pgina ishlar qilgan.  

Hozir  hisoblashlarni  osonlashtirish  uchun  hayron  qolarli  darajada  tez 

hisoblaydigan mashinalar qurilgan. Bu mashinalar bir sekundda ko’p xonali sonlar 

ustida  o’n  minglab  arifmetik  amallarni  (qo’shish,  ayirish,  ko’paytirish  va  bo’lish) 

bajara oladi. 

---

 

9